Gruppe, Gruppenhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es seien (G,*) und [mm] (H,\Box) [/mm] Gruppen. Wir definieren Hom(G,H) als die Menge der Gruppenhomomorphismen von G nach H. Zeigen Sie, dass für eine abelsche Gruppe H die Menge Hom(G,H) mit der Verknüpfung [mm] \circ
[/mm]
[mm] (\phi \circ \phi`) [/mm] (g) := [mm] \phi(g) \Box \phi` [/mm] (g), [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G
eine Gruppe bildet. |
Servus,
Sry, dass ich heute noch eine Frage stelle. Es läuft heute nicht ganz.
Beim Inversen hab ich Probleme, vollständigerheitshalber hab ich alles angeschrieben.
1) Abgeschlossenheit
f,u [mm] \in [/mm] Hom(G,H)
ZZ.: (f [mm] \circ [/mm] u) [mm] \in [/mm] Hom(G,H)
Sei [mm] g_1, g_2 \in [/mm] G beliebig
(f [mm] \circ [/mm] u) [mm] (g_1 [/mm] * [mm] g_2) [/mm] = [mm] f(g_1 [/mm] * [mm] g_2) \Box u(g_1 [/mm] * [mm] g_1)= (f(g_1)\Box f(g_2))\Box(u(g_1)\Box u(g_2)) \underbrace{=}_{ \mbox{H ist abelsch }} (f(g_1)\Box u(g_1))\Box(f(g_2)\Box u(g_2)) [/mm] = (f [mm] \circ [/mm] u) [mm] (g_1) \Box [/mm] (f [mm] \circ [/mm] u) [mm] (g_2)
[/mm]
2) Assoziativität
[mm] \forall [/mm] f,u,s [mm] \in [/mm] Hom(G,H)
ZZ.: f [mm] \circ [/mm] (u [mm] \circ [/mm] s)= (f [mm] \circ [/mm] u) [mm] \circ [/mm] s
Sei g beliebig
[mm] (f\circ [/mm] (u [mm] \circ [/mm] s))(g)=f(g) [mm] \Box [/mm] (u [mm] \circ [/mm] s) (g) = f(g) [mm] \Box [/mm] ( u(g) [mm] \Box [/mm] s(g)) [mm] \overbrace{=}^{\mbox{in H gilt Assoziativität }} [/mm] ( f(g) [mm] \Box [/mm] u(g)) [mm] \Box [/mm] s(g) = [(f [mm] \circ [/mm] u) [mm] (g)]\Box [/mm] s(g)= ((f [mm] \circ [/mm] u) [mm] \circ [/mm] s) (g)
3) Einselement
ZZ.: [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] Hom(G,H) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] Hom(G,H): f [mm] \circ [/mm] e= f = e [mm] \circ [/mm] f
Wähle Funktion e sodass [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G : e(g)= [mm] e_H
[/mm]
wobei [mm] e_H [/mm] das neutrale Element von H ist
(e [mm] \circ [/mm] f) (g) = e(g) [mm] \Box [/mm] f(g) = [mm] e_H \Box [/mm] f(g) = f(g)
[mm] (f\circ [/mm] e) (g)=f(g) [mm] \Box [/mm] e (g)= f(g) [mm] \Box e_H [/mm] = f(g)
Bleibt ZZ.: e [mm] \in [/mm] Hom(G,H)
[mm] \forall g_1, g_2 \in [/mm] G gilt: [mm] e(g_1) \Box e(g_2)= e_H \Box e_H [/mm] = [mm] e_H [/mm] = [mm] e(g_1 [/mm] * [mm] g_2)
[/mm]
4) Inverses
ZZ.: [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] Hom(G,H) [mm] \exists [/mm] h [mm] \in [/mm] Hom(G,H) sodass
f [mm] \circ [/mm] h = e = h [mm] \circ [/mm] f
[mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: (f [mm] \circ [/mm] h) (g)= f(g) [mm] \Box [/mm] h(g)
e(g)= [mm] e_H
[/mm]
-> h(g) muss also das Inverse von f(g) in der Gruppe H sein. Aber wie schreibe ich das an? Ich muss das ja elementenweiße definieren?
h(g)= [mm] [f(g)]^{-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 15.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
versuche es mal mit [mm] $h(g):=f(g^{-1})$, [/mm] $g [mm] \in [/mm] G$.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Do 16.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für die Antwort. Es gilt ja, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist, also [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: [mm] f(g^{-1})=(f(g))^{-1}
[/mm]
So ist das ganze dann schnell gelöst.
Danke,
sissi
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