Grenzwert des Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 So 05.12.2010 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:[0,1]\to[0,1] [/mm] eine stetige funktion mit f(1)=1 und f(x)<1 [mm] \forall x\in[0,1]. [/mm] Zu zeigen ist: [mm] \lim_{n\to\infty}\int_0^1f^ndx=0 [/mm] |
Hallo!
ich brauche eure Hilfe bei der Aufgabe.
Es ist ziemlich klar was in der aufgabe passiert.
Die Funktion nimmt auf dem Intervall [0,1] die Werte aus [0,1], d.h [mm] 0\le{f(x)}\le{1} \forall x\in[0,1], [/mm] dann [mm] muss\int_0^1 f^n [/mm] gegen 0
konvergieren. Aber ich weiß nicht wie ich den Beweis sauber aufschreiben kann. Wie muss ich begründen?
Ich freue mich auf eure Hilfe
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 So 05.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
>$ [mm] 0\le{f(x)}\le{1}\ \forall x\in[0,1], [/mm] $ dann muß [mm] $\int_0^1 f^n\ [/mm] dx $ gegen 0
das ist so Quatsch. f(x):=1 dann ist [mm] $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f^n(x)\ [/mm] dx=1$
> $ [mm] \lim_{n\to\infty}\int_0^1f^n\ [/mm] dx=0 $
Nachdem Du im Hauptstudium bist, solltest Du doch das Lebesgue-Integral zur Verfügung haben. Dann kannst Du hier leicht Grenzwert und Integral vertauschen. Welche Sätze kennst Du denn, die das erlauben?
ciao
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:10 So 05.12.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Stefan!!
Danke für deine schnelle Antwort!!
Bis jetzt hatten wir nur Riemann-integrierbarkein.
Aber wenn f gegen 0 gleichmäßig konvergiert, kann man den Grenzwert und Integral vertauschen oder?
Auf [0,1) konvergiert [mm] f^n [/mm] gleichmäßig gegen 0, denn [mm] 0\le{f(x)}<{1} \forall x\in[0,1), [/mm] wenn x=1, dann f(1)=1 und [mm] f^n [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen 1.
Kann ich dann schreiben für alle [mm] x\in[0,1) [/mm] gilt
[mm] \lim_{n\to\infty}\int_0^1f^n =\int_0^1\lim_{n\to\infty}f^n=\int_0^10=0.
[/mm]
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 05.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Auf [0,1) konvergiert $ [mm] f^n [/mm] $ gleichmäßig gegen 0, denn $ [mm] 0\le{f(x)}<{1} \forall x\in[0,1), [/mm] $
korrigier mich, wenn ich falsch liege, aber z.B. f(x)=x konvergiert nicht gleichmäßig gegen 0 auf $[0,1)$. Du bräuchtest f(1)<1 für gleichmäßige Konvergenz (genauer gesagt f(x)<1 [mm] $\forall x\in [/mm] [0,1]$ was eigentlich so in der Angabe steht, dem aber f(1)=1 widerspricht)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 05.12.2010 | | Autor: | math101 |
> Hi,
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> > Auf [0,1) konvergiert [mm]f^n[/mm] gleichmäßig gegen 0, denn
> [mm]0\le{f(x)}<{1} \forall x\in[0,1),[/mm]
>
> korrigier mich, wenn ich falsch liege, aber z.B. f(x)=x
> konvergiert nicht gleichmäßig gegen 0 auf [mm][0,1)[/mm]. Du
> bräuchtest f(1)<1 für gleichmäßige Konvergenz (genauer
> gesagt f(x)<1 [mm]\forall x\in [0,1][/mm] was eigentlich so in der
Aber wenn f(x)=x,dann [mm] \forall x\in[0,1) \lim_{n\to\infty}x^n=0, [/mm] wenn x=1, dann ist [mm] \lim_{n\to\infty}f(1)^n=\lim_{n\to\infty}1^n=1.
[/mm]
Das ist doch keiner Widerspruch oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:09 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hi,
> >
> > > Auf [0,1) konvergiert [mm]f^n[/mm] gleichmäßig gegen 0, denn
> > [mm]0\le{f(x)}<{1} \forall x\in[0,1),[/mm]
> >
> > korrigier mich, wenn ich falsch liege, aber z.B. f(x)=x
> > konvergiert nicht gleichmäßig gegen 0 auf [mm][0,1)[/mm]. Du
> > bräuchtest f(1)<1 für gleichmäßige Konvergenz (genauer
> > gesagt f(x)<1 [mm]\forall x\in [0,1][/mm] was eigentlich so in der
> Aber wenn f(x)=x,dann [mm]\forall x\in[0,1) \lim_{n\to\infty}x^n=0,[/mm]
> wenn x=1, dann ist
> [mm]\lim_{n\to\infty}f(1)^n=\lim_{n\to\infty}1^n=1.[/mm]
> Das ist doch keiner Widerspruch oder?
Die Folge [mm] (x^n) [/mm] konvergiert auf jedem Intervall [0, [mm] \alpha) [/mm] gleichmäßig (0< [mm] \alpha< [/mm] 1)
Aber sie konvergiert nicht gleichmäßig auf [0,1)
FRED
> Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 05.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich denke es muß lauten:
f(x)<1 $ [mm] \forall x\in[0,1). [/mm] $
Damit ist 0 [mm] \le [/mm] f<1 auf [0,1)
Wenn ja, so konvergiert die Funktionenfolge fast überall gegen 0
Und 0 [mm] \le f^n\le [/mm] 1 auf [0,1]
Jertzt bemühe Lebesgue, wie Blech schon sagte
FRED
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