Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 12.06.2010 | | Autor: | jumper |
| Aufgabe | Berechne
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}ln((\bruch{n}{n+1})*n) [/mm] |
Kann mir jemand helfen wie ich da vorgehe
Gruß Jumper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}ln((\bruch{n}{n+1})*n)[/mm]
> Kann mir jemand helfen wie ich da vorgehe
> Gruß Jumper
wegen [mm] $(\*)\;\;\;\frac{n}{n+1}*n=\frac{n^2}{n+1}\ge \frac{n}{2}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] gilt, weil [mm] $\ln$ [/mm] (sogar streng) monoton wachsend auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] ist, die Ungleichung
[mm] $$\ln\left(\frac{n}{n+1}*n\right) \ge \ln(n/2)$$
[/mm]
für jedes [mm] $n\,.$
[/mm]
Also:
Was passiert nun bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
P.S.:
Zu [mm] $(\*)$:
[/mm]
[mm] $$\frac{n}{n+1}*n=\frac{n^2}{n+1}\ge \frac{n}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\underset{\blue{\text{da }n+1 > 0 \text{ für }n \in \IN}}{\gdw} 2n^2 \ge [/mm] n(n+1)$$
[mm] $$\gdw n^2-n \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\gdw [/mm] n(n-1) [mm] \ge 0\,.$$
[/mm]
Für $n [mm] \in \IN:=\IN_{\ge 1}$ [/mm] gilt aber stets $n*(n-1) [mm] \ge 0\,,$ [/mm] da wegen $n [mm] \ge [/mm] 1$ stets sowohl $n [mm] \ge [/mm] 0$ als auch $n-1 [mm] \ge [/mm] 0$ gilt.
Beste Grüße,
Marcel
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