Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Fr 09.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Moin, Moin!
ich suche den Grenzwert von der Summe
a + [mm] a^2 [/mm] + [mm] a^3 [/mm] .... + [mm] a^n
[/mm]
Dabei ist a = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Oder anders
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] (\bruch{3}{4})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{3}{4})^3 [/mm] + ... + [mm] (\bruch{3}{4})^n) [/mm] |
Moin Moin,
ich suche den Grenzwert s.o.
Ich habe auch eine Summenformel gefunden, vielleicht kennt jemand eine "bessere" !?
= a + a*q + [mm] a*q^2 [/mm] + ... + [mm] a*q^{n-1} [/mm] = a* [mm] \bruch{q^{n-1}}{q -1}
[/mm]
und wenn a=q ist, dann entsteht die Summe, deren Grenzwert ich bestimmen möchte.
Leider ergibt a* [mm] \bruch{a^{n-1}}{a -1} [/mm] = [mm] \bruch{a^n}{a -1}
[/mm]
was für a= [mm] \bruch{3}{4} [/mm] zu einem negativen Wert führt???
Danke & Gruß!!
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Moin, Moin, Hummel, Hummel, Mors, Mors!
> Moin, Moin!
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> ich suche den Grenzwert von der Summe
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> a + [mm]a^2[/mm] + [mm]a^3[/mm] .... + [mm]a^n[/mm]
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> Dabei ist a = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
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> Oder anders
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{3}{4}[/mm] + [mm](\bruch{3}{4})^2[/mm] + [mm](\bruch{3}{4})^3[/mm] + ... + [mm](\bruch{3}{4})^n)[/mm]
> Moin Moin,
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> ich suche den Grenzwert s.o.
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> Ich habe auch eine Summenformel gefunden, vielleicht kennt
> jemand eine "bessere" !?
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> = a + a*q + [mm]a*q^2[/mm] + ... + [mm]a*q^{n-1}[/mm] = a* [mm]\bruch{q^{n-1}}{q -1}[/mm]
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> und wenn a=q ist, dann entsteht die Summe, deren Grenzwert
> ich bestimmen möchte.
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> Leider ergibt a* [mm]\bruch{a^{n-1}}{a -1}[/mm] = [mm]\bruch{a^n}{a -1}[/mm]
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> was für a= [mm]\bruch{3}{4}[/mm] zu einem negativen Wert
> führt???
Das passt nicht!
Hmm, die endliche geometrische Reihe (oder Summe) hat diese Form(el)
[mm]1+q+q^2+q^3+...+q^n=\sum\limits_{k=0}^{n}q=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
Ersichtlich konvergiert das Ding für [mm]|q|<1[/mm] gegen [mm]\frac{1}{1-q}[/mm], denn das [mm]q^{n+1}[/mm] im Zähler konvergiert gegen 0.
Bei dir ist [mm]q=\frac{3}{4}[/mm], deine Summe startet aber nicht mit einer [mm]1=q^0=\left(\frac{3}{4}\right)^0[/mm], also mit dem Summanden für [mm]k=0[/mm], sondern erst bei [mm]q=\frac{3}{4}=\left(\frac{3}{4}\right)^1[/mm], also dem Summanden für [mm]k=1[/mm]
Das ist also [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{3}{4}\right)^k[/mm]
Kommst du damit auf den Wert?
Nimm die Formel für die Reihe ab $k=0$ und ziehe einfach den allerersten Summanden (also den für $k=0$) wieder ab ...
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> Danke & Gruß!!
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Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Sa 10.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
Ok, versuchen wirs:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+q+q^2+...+q^n) [/mm] -1
= [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} (1 - q^{n+1})}{\limes_{n\rightarrow\infty} (1 -q)} [/mm] -1
= [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} 1 - \limes_{n\rightarrow\infty} ((\bruch{3}{4})^{n+1})}{\limes_{n\rightarrow\infty} (1 -\bruch{3}{4})} [/mm] -1
= [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{4}} [/mm] -1
= 3
richtig?
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Hallo hase-hh,
> Ok, versuchen wirs:
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> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+q+q^2+...+q^n)[/mm] -1
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> = [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} (1 - q^{n+1})}{\limes_{n\rightarrow\infty} (1 -q)}[/mm]
> -1
>
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> = [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} 1 - \limes_{n\rightarrow\infty} ((\bruch{3}{4})^{n+1})}{\limes_{n\rightarrow\infty} (1 -\bruch{3}{4})}[/mm]
> -1
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> = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{4}}[/mm] -1
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> = 3
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> richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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