Gleichungssystem mit W' bilden < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
die Wahrscheinlichkeit ist ja eine Funktion zB P(A). A ist ja das Ereignis und ist eine disjunkte Vereinigung von Elementarereignissen [mm] \{\omega_{i}\}. [/mm] Dies bedeutet nun:
[mm] P(A)=P(\{\omega_{1}\}\cup \{\omega_{2}\}\cup \{\omega_{3}\}\cup \{\omega_{4}\}\cup \{\omega_{5}\}\cup \{\omega_{6}\})=P(\bigcup_{\omega_{i}\in A}\{\omega_{i}\})=\summe_{i}^{}P(\{\omega_{i}|\omega_{i} \in A\})
[/mm]
Wenn ich mir das so ansehe, stellt sich folgende Frage:
Ist es möglich, P(A) in der Form von [mm] P(\{\omega_{1}\})+P(\{\omega_{2}\})+P(\{\omega_{3}\})+P(\{\omega_{4}\})+P(\{\omega_{5}\})+P(\{\omega_{6}\}) [/mm] anzugeben?
Eigentlich schon, denn schließlich ist ja auch [mm] P(\Omega)=P(\{1\})+P(\{2\})+P(\{3\})+P(\{4\})+P(\{5\})+P(\{6\})=1 [/mm] wenn für [mm] \Omega=(\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}) [/mm] gilt ... ODER???
Denn dann kann ich zB Gleichungssysteme bilden, zB habe ich gegeben:
[mm] P(\{1,2,3,4\})=\bruch{5}{6}
[/mm]
[mm] P(\{2,3\})=\bruch{1}{3}
[/mm]
.
.
.
Wenn es nun heißt, dass man die Wahrscheinlichkeit der einzelnen [mm] \omega_{i} [/mm] berechnen soll, dann muss man lediglich [mm] P(\{1\},\{2\},\{3\},\{4\})=\bruch{5}{6} [/mm] nach [mm] \bruch{5}{6}=P(\{1\})+P(\{2\})... [/mm] umformen, und [mm] P(\{1\}) [/mm] als "Variable" ansehen. Oder klappt das nicht?
Freue mich auf eine Antwort.
PS: Es ist zB [mm] P(A\cup [/mm] B) auch [mm] P(A)\cup [/mm] P(B).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Hannes,
Zunächst gilt nach der Additivität von Wahrscheinlichkeitsmaßen:
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
und allgemeiner für Ereignisse [mm] A_1,...,A_n
[/mm]
[mm] P(A_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup A_n) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \sum_{1 \leq i_1<...
Das heißt wir müssen die Durchschnitte die wir zu viel gezählt haben und den Gesamtdurchschnitt wieder abziehen.
Das ganze vereinfacht sich aber wenn man paarweise disjunkte Mengen hat, wie in deinem Beispiel
> die Wahrscheinlichkeit ist ja eine Funktion zB P(A). A ist
> ja das Ereignis und ist eine disjunkte Vereinigung von
> Elementarereignissen [mm]\{\omega_{i}\}.[/mm] Dies bedeutet nun:
>
> [mm]P(A)=P(\{\omega_{1}\}\cup \{\omega_{2}\}\cup \{\omega_{3}\}\cup \{\omega_{4}\}\cup \{\omega_{5}\}\cup \{\omega_{6}\})=P(\bigcup_{\omega_{i}\in A}\{\omega_{i}\})=\summe_{i}^{}P(\{\omega_{i}|\omega_{i} \in A\})[/mm]
>
> Wenn ich mir das so ansehe, stellt sich folgende Frage:
>
> Ist es möglich, P(A) in der Form von
> [mm]P(\{\omega_{1}\})+P(\{\omega_{2}\})+P(\{\omega_{3}\})+P(\{\omega_{4}\})+P(\{\omega_{5}\})+P(\{\omega_{6}\})[/mm]
> anzugeben?
>
ja !
> Eigentlich schon, denn schließlich ist ja auch
> [mm]P(\Omega)=P(\{1\})+P(\{2\})+P(\{3\})+P(\{4\})+P(\{5\})+P(\{6\})=1[/mm]
> wenn für [mm]\Omega=(\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\})[/mm] gilt
> ... ODER???
>
> Denn dann kann ich zB Gleichungssysteme bilden, zB habe ich
> gegeben:
>
> [mm]P(\{1,2,3,4\})=\bruch{5}{6}[/mm]
> [mm]P(\{2,3\})=\bruch{1}{3}[/mm]
> .
> .
> .
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> Wenn es nun heißt, dass man die Wahrscheinlichkeit der
> einzelnen [mm]\omega_{i}[/mm] berechnen soll, dann muss man
> lediglich [mm]P(\{1\},\{2\},\{3\},\{4\})=\bruch{5}{6}[/mm] nach
> [mm]\bruch{5}{6}=P(\{1\})+P(\{2\})...[/mm] umformen, und [mm]P(\{1\})[/mm]
> als "Variable" ansehen. Oder klappt das nicht?
wenn ich dich richtig verstanden habe müsste das fuktionieren.
> PS: Es ist zB [mm]P(A\cup[/mm] B) auch [mm]P(A)+ P(B). [/mm]
wie gesagt, nur unter der Voraussetzung dass A und B disjunkt sind.
Viele Grüße,
Riley
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