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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Fr 26.11.2010 | | Autor: | IReggy |
| Aufgabe | a.)Für [mm] n\ge [/mm] 1 betrachten wir die Funktion
[mm] f_n:\IR\to \IR
[/mm]
[mm] x\mapsto \begin{cases} 1-n\left| x \right| , & \mbox{falls } \left| x \right|\le \mbox{ 1/n} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass diese Funktion punktweise gegen die Funktion
[mm] f:\IR\to \IR
[/mm]
[mm] x\mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } x= \mbox{ 0} \\ 0, & \mbox{andernfalls } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
konvergiert.
b.)Zeigen Sie nur mithilfe der Definitionen, dass die obige Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] nicht gleichmäßig gegen f konvergiert. |
Hallo Forum,
ich weiß einfach nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Bisher weiß ich:
Definition von punktweiser Konvergenz:
[mm] \forall x\in [/mm] D [mm] \forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN \forall n\ge [/mm] N [mm] \left| f_n(x)-f(x) \right|< \varepsilon
[/mm]
der Unterschied zur gleichmäßigen Konvergenz ist, dass sie von x abhängt.
Mein Problem ist auch, dass ich nicht weiß "wo" ich genau hinschauen muss??Wie würde man zum beispiel [mm] f_n [/mm] und f in die Definition einsetzen?
Kann man bei b.) nicht einfach sagen, dass [mm] (f_n) [/mm] nicht gleichmäßig kovergiert, weil f unstetig ist oder gilt diese Richtung nicht?
Über Hilfe wäre ich seeehr dankbar.
Freundlichste Grüße
IReggy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Fr 26.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
im 1.ten Teil musst du nur ein [mm] N(x,\epsilon) [/mm] angeben und damit die punktweise Konv. zeigen.
im 2. ten Teil sollst du wohl keinen Satz über glm. konvergenz benutzen, denn das ist ja nicht die Definition! sondern es gibt kein N unabhängig von x.für x gegen 0
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir mal
[mm] $|f_n(\bruch{1}{2n})-f(\bruch{1}{2n})|$
[/mm]
an
Wenn [mm] (f_n) [/mm] glm. konvergent wäre, so müßte obiges ab einem Index m immer < 1/4 ausfallen.
Ist das so ?
FRED
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