Fourierreihe, max, umrechnen, < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Di 01.05.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Für die Funktion [mm] f:[0,2\pi] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gebe man an, wie man die komplexen Fourierkoeffizienten [mm] c_k, [/mm] k [mm] \in \IZ, [/mm] aus den reellen Fourierkoeffizienten [mm] a_k, [/mm] k>=0 und [mm] b_k, [/mm] k>=1 berechnet und umgekehrt.
f(x) = [mm] max\{\pi - x, 0 \}, [/mm] 0 <= x <= 2 [mm] \pi [/mm] |
1) reellen Fourier-Koeffizienten ausrechnen
[mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} [/mm] f(x) * cos(kx) dx
[mm] b_k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} [/mm] f(x) * sin(kx) dx
k=1,2...
Für 0 <= x <= [mm] \pi [/mm] ist [mm] \pi [/mm] - x die Funktion
Für [mm] \pi [/mm] <= x <= 2 [mm] \pi [/mm] ist 0 die Funkion
[mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\pi [/mm] - x) * cos(kx) dx = [mm] \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\pi [/mm] cos(kx) [mm] -\frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} [/mm] (x) * cos(kx) dx =
[mm] \frac{1}{\pi} [/mm] * [mm] (\pi [/mm] * [mm] \frac{sin(k\pi)}{k} [/mm] )- [mm] \frac{1}{\pi} [/mm] * [mm] \frac{k*\pi*sin(k\pi) + cos(k\pi)}{k^2}= \frac{sin(k\pi)}{k} [/mm] - [mm] \frac{k*\pi*sin(k\pi) + cos(k\pi)}{\pi k^2}=
[/mm]
[mm] \frac{k * \pi *sin(k \pi) - k*\pi*sin(k\pi) + cos(k\pi)}{\pi k^2} [/mm] = [mm] \frac{cos(k\pi)}{\pi k^2} [/mm]
[mm] b_k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} (\pi [/mm] - x) * sin(kx) dx= [mm] \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} (\pi) [/mm] * sin(kx) dx - [mm] \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} [/mm] (x) * sin(kx) dx= [mm] -\frac{1}{\pi} [/mm] *( [mm] \frac{\pi cos(k\pi}{k}) [/mm] - [mm] \frac{1}{\pi} \frac{sin(k\pi)-k\pi*cos(k\pi)}{k^2}=
[/mm]
- [mm] \frac{cos(k\pi}{k} [/mm] - [mm] \frac{1}{\pi} \frac{sin(k\pi)-k\pi*cos(k\pi)}{\pi * k^2}=\frac{- \pi k * cos(k \pi) - sin(k\pi)+k\pi*cos(k\pi)}{\pi * k^2}
[/mm]
[mm] =\frac{- sin(k\pi)}{\pi * k^2}
[/mm]
und
[mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi} \int_\pi^{2\pi} [/mm] 0 dx =0
[mm] b_k [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}\int_\pi^{2\pi} [/mm] 0 dx =0
2) wie kann man nun die komplexen Fourierkoeffizienten [mm] c_k [/mm] ausrechnet aus den reellen ??
[mm] c_k [/mm] = <f, [mm] e^{ikx}> =\frac{1}{2\pi} [/mm] * [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] f(x) [mm] e^{-kx} [/mm] dx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
e^{ikx}=cos(kx}+isin{kx}
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 01.05.2012 | | Autor: | quasimo |
[mm] c_k [/mm] = <f, [mm] e^{ikx}> [/mm] =<f,cos(kx)+i*sin(kx)> = <f,cos(kx)> + -i* <f, sin(kx)> = [mm] a_k [/mm] /2 + (-i)* [mm] b_k/ [/mm] 2 = [mm] \frac{cos(k\pi)}{2 \pi k^2} [/mm] +(-i) [mm] \frac{- sin(k\pi)}{2 \pi \cdot{} k^2} =\frac{cos(k\pi) + i sin(k\pi)}{2\pi k^2}
[/mm]
So?
LG
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Hallo quasimo,
> [mm]c_k[/mm] = <f, [mm]e^{ikx}>[/mm] =<f,cos(kx)+i*sin(kx)> = <f,cos(kx)> +
> -i* <f, sin(kx)> = [mm]a_k[/mm] /2 + (-i)* [mm]b_k/[/mm] 2 =
Bis hierher ist alles richtig.
> [mm]\frac{cos(k\pi)}{2 \pi k^2}[/mm] +(-i) [mm]\frac{- sin(k\pi)}{2 \pi \cdot{} k^2} =\frac{cos(k\pi) + i sin(k\pi)}{2\pi k^2}[/mm]
>
Die Fourierkoeffizienten musst Du nochmal nachrechnen.
> So?
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 01.05.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich hab nochmal das selbe rausbkommen für die Koeffizienten ( siehe beitrag 1 ) da steht meine Berechnung-!!
Meinst du weil ich :
Für 0 <= x <= $ [mm] \pi [/mm] $ ist $ [mm] \pi [/mm] $ - x die Funktion
Für $ [mm] \pi [/mm] $ <= x <= 2 $ [mm] \pi [/mm] $ ist 0 die Funkion
Und das hier jetzt nicht berücksichtigt habe??
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Hallo quasimo,
> Ich hab nochmal das selbe rausbkommen für die
> Koeffizienten ( siehe beitrag 1 ) da steht meine
> Berechnung-!!
>
> Meinst du weil ich :
> Für 0 <= x <= [mm]\pi[/mm] ist [mm]\pi[/mm] - x die Funktion
> Für [mm]\pi[/mm] <= x <= 2 [mm]\pi[/mm] ist 0 die Funkion
> Und das hier jetzt nicht berücksichtigt habe??
Nein, das meine ich nicht.
Bei der Berechnung des Koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] hast Du zwar
das zweite Integral richtig berechnet, jedoch dann
beim Einsetzen der Integrationsgrenzen die
untere Grenze 0 nicht berücksichtigt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 01.05.2012 | | Autor: | quasimo |
achja ;)
[mm] a_k [/mm] = [mm] \frac{cos(k\pi)}{\pi k^2}+ \frac{1}{\pi k^2} =\frac{cos(k\pi)+1}{\pi k^2}
[/mm]
bei [mm] b_k [/mm] verschwindet die untere Grenze beim addieren.
bleibt [mm] b_k [/mm] = $ [mm] =\frac{- sin(k\pi)}{\pi \cdot{} k^2} [/mm] $
> Für 0 <= x <= [mm] \pi [/mm] ist [mm] \pi [/mm] - x die Funktion
> Für $ [mm] \pi [/mm] <= x <= 2 [mm] \pi [/mm] ist 0 die Funkion
Also ist [mm] c_k [/mm] auch 0 für [mm] \pi [/mm] <= x <= 2
Und [mm] c_k [/mm] für 0 <= x <= [mm] \pi [/mm]
$ [mm] c_k [/mm] $ = $ [mm] a_k [/mm] $ /2 + (-i)* $ [mm] b_k/ [/mm] $ 2 [mm] =\frac{cos(k\pi)+1}{2* \pi k^2} [/mm] - i [mm] *\frac{- sin(k\pi)}{\pi \cdot{} k^2}
[/mm]
Passts?
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Hallo quasimo,
> achja ;)
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\frac{cos(k\pi)}{\pi k^2}+ \frac{1}{\pi k^2} =\frac{cos(k\pi)+1}{\pi k^2}[/mm]
>
Der Koeffizient [mm]a_{k}[/mm] muss doch lauten:
[mm]a_k=\frac{1\blue{-}cos(k\pi)}{\pi k^2}[/mm]
> bei [mm]b_k[/mm] verschwindet die untere Grenze beim addieren.
> bleibt [mm]b_k[/mm] = [mm]=\frac{- sin(k\pi)}{\pi \cdot{} k^2}[/mm]
>
Hier ist Dir derselbe Fehler passiert,
wie bei der Berechnung des Koeffizienten[mm]a_{k}[/mm],
den ich in meinem letzten Post festgestellt habe,
> > Für 0 <= x <= [mm]\pi[/mm] ist [mm]\pi[/mm] - x die Funktion
> > Für $ [mm]\pi[/mm] <= x <= 2 [mm]\pi[/mm] ist 0 die Funkion
>
> Also ist [mm]c_k[/mm] auch 0 für [mm]\pi[/mm] <= x <= 2
> Und [mm]c_k[/mm] für 0 <= x <= [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]c_k[/mm] = [mm]a_k[/mm] /2 + (-i)* [mm]b_k/[/mm] 2 [mm]=\frac{cos(k\pi)+1}{2* \pi k^2}[/mm]
> - i [mm]*\frac{- sin(k\pi)}{\pi \cdot{} k^2}[/mm]
>
> Passts?
Nein.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo quasimo
wenn ich FR ausrechne lass ich mir immer am ende von irgendnem Programm etwa wolfram alpha die Summe der ersten paar glieder plotten. dann sieht man gleich, ob man sich verrechnet hat.
Gruss leduart
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