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Formel...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Do 10.06.2004
Autor: pfote

Was bedeutet diese „Formel“:
/ X - "müh" / <  Standardabweichung




        
Bezug
Formel...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Do 10.06.2004
Autor: Stefan

Hallo Pfote!

> Was bedeutet diese „Formel“:
>  / X - "müh" / <  Standardabweichung

So ist die Frage und die Ungleichung natürlich etwas zusammenhanglos. Du musst uns schon etwas mehr über die Hintergründe erzählen. In welchem Zusammenhang ist die Ungleichung aufgetaucht? Und so weiter...

Naja, ich erzähle trotzdem mal was.

$X$ ist eine Zufallsvariable (weißt du, was das ist?)
[mm] $\mu$ [/mm] ist der Erwartungswert der Zufallsvariable,
[mm] $\sigma$ [/mm] ist die Standardabweichung der Zufallsvariable.

Die beschriebene Ungleichung beschreibt nun das Ereignis, dass sich der Wert der Zufallsvariable nur um den Wert [mm] $\sigma$ [/mm] von dem Erartungswert unterscheidt, also dass

[mm] $X(\omega) \in ]\mu [/mm] - [mm] \sigma,\mu+\sigma[$ [/mm]

gilt.

Häufig interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, also für

[mm] $P(|X-\mu|<\sigma) [/mm] = [mm] P(\{\omega \in \Omega\, : \, X(\omega) \in ]\mu - \sigma, \mu + \sigma[\})$. [/mm]

Das macht man dann nicht nur für [mm] $\sigma$, [/mm] sondern auch für Vielfache von [mm] $\sigma$. [/mm]

Falls $X$ normalverteilt ist (kennst du das?), dann gilt etwa:

[mm] $P(|X-\mu|<2\sigma) \approx [/mm] 0,95$

(etwas genauer: [mm] $P(|X-\mu| [/mm] < [mm] 1,96\sigma) \approx [/mm] 0,95$),

d.h. in $95$ Prozent der Fälle liegt $X$ höchstens mit dem Abstand [mm] $2\sigma$ [/mm] von seinem eigenen Erwartungswert entfernt.

Oder anders gesagt: Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ sich von [mm] $\mu$ [/mm] um einen größeren Wert als [mm] $2\sigma$ [/mm] unterscheidet, ist ungefähr nur gleich $0,05$, also wirklich "sehr klein".

Außerdem gilt zum Beispiel:

[mm] $P(|X-\mu|<2,58\sigma) \approx [/mm] 0,99$.


Vielleicht kannst du ja noch mal nachfragen und genauer beschreiben, was dir eigentlich unklar ist, was ihr bisher so gemacht habt, was du davon verstanden hast und was nicht, bei welcher Aufgabe du Probleme hast und warum etc.

Dann können wir viel gezielter helfen. :-)

Liebe Grüße
Stefan


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