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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Existenz einer hol. Funktion
Existenz einer hol. Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Existenz einer hol. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:51 Di 03.02.2009
Autor: MacMath

Aufgabe
Zeigen oder widerlegen sie die Existenz einer hol. Fkt:
[mm] K_1(1)\to \IC [/mm] mit [mm] h^{(n)}(1)=n!*2^n \forall n\in \IN_0 [/mm]

Ich bin mir ziemlich sicher das eine solche Funktion nicht existiert da diese ja

[mm] h(z)=\summe_{i=0}^{\infty}2^n(z-1)^n [/mm] erfüllen müsste.

Meine Frage ist nun für welches z ich die Divergenz der Reihe zeigen muss um zu beweisen dass eine solche Funktion nicht existiert (insofern mein Ansatz richtig ist)

        
Bezug
Existenz einer hol. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 Di 03.02.2009
Autor: fred97


> Zeigen oder widerlegen sie die Existenz einer hol. Fkt:
>  [mm]K_1(1)\to \IC[/mm] mit [mm]h^{(n)}(1)=n!*2^n \forall n\in \IN_0[/mm]
>  
> Ich bin mir ziemlich sicher das eine solche Funktion nicht
> existiert da diese ja
>
> [mm]h(z)=\summe_{n=0}^{\infty}2^n(z-1)^n[/mm] erfüllen müsste.
>  


Das ist doch schon die richtige Idee !!  

Dein obiges h ist der einzige Kandidat, der in Frage kommt .


Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^n. [/mm]  Dann:

    
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = 2.

Somit ist der Konvergenzradius der Potenzreihe = 1/2. h ist also holomorph auf  { z: |z-1|<1/2 }. Da die Potenzreihe für |z|>1/2 divergiert, kann h auf
$ [mm] K_1(1) [/mm] $ nicht holomorph sein


FRED



> Meine Frage ist nun für welches z ich die Divergenz der
> Reihe zeigen muss um zu beweisen dass eine solche Funktion
> nicht existiert (insofern mein Ansatz richtig ist)


Bezug
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