Erzeugende Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe eine etwas allgemein gehaltene Frage, da ich dem Problem momentan öfter begegne. Ich suche nach irgendeiner Art Zusammenhang zwischen einer erzeugenden Funktion [mm] $f(s)=\sum \limits_{j=0}^{\infty} p_{j}s^{j}$, [/mm] der ersten bzw. zweiten Ableitung $f'(s)$ bzw. $f''(s)$ und den Werten [mm] $f'(1)=\alpha$ [/mm] bzw. [mm] $f''(1)=\sigma^{2}$. [/mm] Also noch mal zusammengefasst:
1. Zusammenhang $f(s)$, $f'(s)$ und $f'(1)$
2. Zusammenhang $f(s)$, $f''(s)$ und $f''(1)$
Falls das jemandem etwas vage vorkommt, es geht darum dass ich aktuell ein paper bearbeite, bei dem öfter [mm] $\frac{f''(s)} [/mm] {f''(1)}$ oder [mm] $\frac{f'(s)} [/mm] {f'(1)}$ vorkommt und dann wird so weitergerechnet, als ergäbe das jeweils $f(s)$. Das verwirrt mich etwas und ich versuche einen generellen Zusammenhang herzustellen, um dann vielleicht die Stellen im paper auch zu verstehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Fr 20.07.2012 | | Autor: | Fry |
Hey insomniac,
sei mal [mm] $S_n:=\sum_{i=1}^{n}X_i$.
[/mm]
Es gilt dann für [mm] $f_n(s):=\sum_{i=1}^{n}p_i s^i$:
[/mm]
[mm] $f^{(k)}_n(s)=E(s^{S_n-k}\prod_{i=0}^{k-1}(S_n-i))$
[/mm]
also z.B.
[mm] $f'_n(s)=ES_n$
[/mm]
VG
Fry
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