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| Aufgabe | Folgende Gleichung soll gelöst werden:
[mm] E((X-\lambda)^{3})=0 [/mm] wobei [mm] \lambda=\mu+f\sigma. [/mm]
Durch Erweiterung des Terms erhalten wir die kubische Gleichung:
[mm] f^{3}+3f-\bruch{E((X-\mu)^{3})}{\sigma^{3}}=0 [/mm] |
Hinweis:
E(.) ist der Erwartungswert-Operator
[mm] \mu [/mm] ist der Mittelwert
[mm] \sigma [/mm] entspricht der Standardabweichung
Frage: Wie kommt man auf die kubische Gleichung? Ich habe die Werte für [mm] \lambda [/mm] in den Erwartungswert eingesetzt und die kubische Gleichung vereinfacht, komme aber leider nicht auf die Endgleichung.
Für eine Idee wäre ich sehr dankbar.
Info: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo statistika,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Folgende Gleichung soll gelöst werden:
> [mm]E((X-\lambda)^{3})=0[/mm] wobei [mm]\lambda=\mu+f\sigma.[/mm]
> Durch Erweiterung des Terms erhalten wir die kubische
> Gleichung:
> [mm]f^{3}+3f-\bruch{E((X-\mu)^{3})}{\sigma^{3}}=0[/mm]
Du hast
[mm] 0=E[(X-\mu)-f\sigma]^3=E[(X-\mu)^3-3(X-\mu)^2*f\sigma+3(X-\mu)f^2\sigma^2-f^3\sigma^3].
[/mm]
Da E lineares Funktional ist, folgt
[mm] \ldots=E(X-\mu)^3-3f\sigma E(X-\mu)^2+3f^2\sigma^2E(X-\mu)-E(f^3\sigma^3)=E(X-\mu)^3-3f\sigma^3-f^3\sigma^3.
[/mm]
Die letzte Gleichheit folgt wegen [mm] E(X-\mu)^2=Var X=\sigma^2 [/mm] sowie [mm] E(X-\mu)=0.
[/mm]
Kürzen mit [mm] \sigma^3 [/mm] liefert nun die Behauptung (vorausgesetzt [mm] \sigma>0).
[/mm]
LG
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