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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:16 Do 20.09.2007 | | Autor: | sirtobi |
Hallo Forum,
ich habe eine Gruppe G erzeugt von zwei Elementen a,b. Diese Gruppe ist nicht kommutativ. Auf diese Gruppe G definiere ich mir einen Endomorphismus
[mm] \pi. [/mm] Desweiteren definiere ich mir einen Homomorphismus f: G -> [mm] \IR^{2} [/mm] mit f(a)=(1,0) und f(b)=(0,1). Grundsätzlich egal, hauptsache die beiden erzeugten Vektoren sind linear unabhängig und (f(a),f(b)) ist positiv orientiert, d.h det(f(a),f(b)) >0.
Diese beiden Homomorphismen erzeugen eine eindeutige lineare Abbildung A, deren zugehörige Matrix der Gestalt [mm] M=\pmat{ m_{aa} & m_{ab} \\ m_{ba} & m_{bb} } [/mm] ist. Die Einträge [mm] m_{\alpha \beta} [/mm] sind jeweils die Anzahl von [mm] \alpha [/mm] in [mm] \pi(\beta) [/mm] wobei [mm] \alpha^{-1} [/mm] -1 fach gezählt wird.
Der Homomorphismus f ist wie folgt definiert: [mm] x_{0}=(0,0) [/mm] und [mm] x_{j}= f(\alpha_{1}...\alpha_{j}) =\summe_{i=1}^{j}f(\alpha_{i}) [/mm] wobei [mm] \alpha_{i}\in \{a,b,a^{-1},b^{-1}\}.
[/mm]
Nun erstelle ich einen Polygonpfad p, der die Punkte [mm] x_{i} [/mm] miteinander verbindet.
Um nun geschlossene Kurve zu erzeugen setze ich [mm] w_{0}=aba^{-1}b^{-1} [/mm] und [mm] K_{n}(\pi,f) [/mm] = [mm] A^{n}p(\pi^{n}(w_{0}), [/mm] wobei [mm] \pi^{n} [/mm] die n-te Iterierte ist.
Desweiteren sei die Umlaufzahl der Kurve [mm] K_{n} [/mm] wie gewöhnlich definiert.
Vorraussetzungen für den folgenden Teil sind:
- [mm] \pi [/mm] : G -> G endomorphismus
- f : G -> [mm] \IR^{2} [/mm] homomorphismus mit (f(a),f(b)) positiv orientiert und linear unabhängig
- A dehnend, d.h. alle Eigenwerte von A sind echt größer 1
- Umlaufzahl von [mm] K_{1} [/mm] um jeden Punkt des [mm] \IR^{2}-K_{1} [/mm] ist entweder 0 oder 1.
Sei nun weiter L ein Gitter mit der Gitterbasis (f(a),f(b)) und Q das Fundamentalparallelogramm. [mm] Q_{x} [/mm] seien Translationen von Q um Punkt x [mm] \in [/mm] L
Nun zu meiner Frage. Wenn ich die [mm] Q_{x} [/mm] betrachte die von [mm] A(K_{1}(\pi,f)) [/mm] umschlossen werden sollen grade diese Gitterpunkte x ein vollständiges Repräsentandesystem von L/A(L) mit [mm] A(L)\subset [/mm] L liefern, aber wieso?
Falls Ihr Anregungen oder sinnvolle Literaturhinweise habt, wäre ich Euch sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Do 20.09.2007 | | Autor: | sirtobi |
Einen Ansatz habe ich, der mir bisher aber nicht weiter hilft.
Wenn ich A(Q) mit dem Standardgitter [mm] \IZ^2 [/mm] schneide erhalte ich ein vollständiges Repräsentandensystem, insofern Q eine halboffene Menge ist z.B. Q=[0,1[^{2}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 23.09.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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