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| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren der Matrize
[mm] a=\pmat{ 6 & 8 \\ 2 & 6 } [/mm] |
Hallo,
die Eigenwerte hab ich schon berechnet:
[mm] \lambda_{1}=10
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=2 [/mm] Die stehen auch so in der Lösung.
dann habe ich so weiter gerechnet:
für [mm] \lambda_{1}=10
[/mm]
[mm] \pmat{ 6 & 8 \\ 2 & 6 }-10*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=0
[/mm]
[mm] -4x_1 [/mm] + [mm] 8x_2 [/mm] = 0
[mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 4x_2 [/mm] = 0
Dann mit Gauß umgeformt:
[mm] \pmat{ -4 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = 0 und [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x_2
[/mm]
das ganze nochmal für [mm] \lambda_{2}=2 [/mm]
[mm] \pmat{ 6 & 8 \\ 2 & 6 }-2*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] ...
dann komme ich auf
[mm] x_1=-2x_2
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
Ist bis dahin alles richtig??? und wie muss ich jetzt weiter machen um auf den Eigenvektor zu kommen? (laut Lösung ist [mm] x_1 [/mm] = [mm] t*\vektor{2 \\ 1}) [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] t*\vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
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Hallo Markus,
> Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren
> der Matrize ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Das heißt in der Einzahl MATRIX
>
> [mm]a=\pmat{ 6 & 8 \\ 2 & 6 }[/mm]
> Hallo,
> die Eigenwerte hab ich schon berechnet:
> [mm]\lambda_{1}=10[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=2[/mm] Die stehen auch so in der Lösung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") die sind auch richtig 
>
> dann habe ich so weiter gerechnet:
> für [mm]\lambda_{1}=10[/mm]
> [mm]\pmat{ 6 & 8 \\ 2 & 6 }-10*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=0[/mm]
>
> [mm]-4x_1[/mm] + [mm]8x_2[/mm] = 0
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]4x_2[/mm] = 0
> Dann mit Gauß umgeformt:
> [mm] $\pmat{ -4 & \red{2} \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0}$
[/mm]
Die rote 2 muss doch eine 8 sein.
Rechne das doch komplett in Matrixschreibweise:
Die Matrix, deren Kern du bestimmen musst (bzgl. [mm] $\lambda_1=10$ [/mm] ist [mm] $(A-10\mathbb{E}_2)=\pmat{-4&8\\2&-4}$
[/mm]
Wenn du da die erste Zeile zum 2-fachen der 2.Zeile addierst, bekommst du
[mm] \pmat{-4&8\\0&0}$
[/mm]
Damit ist [mm] $x_2$ [/mm] frei wählbar, etwa [mm] $x_2:=r$ [/mm] mit [mm] $r\in\IR$
[/mm]
Damit ist mit Zeile 1: [mm] $-4x_1+8x_2=0$, [/mm] also [mm] $-4x_1+8r=0$, [/mm] also [mm] $-4x_1=-8r$, [/mm] damit [mm] $x_1=2r$
[/mm]
Also ist ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lamda=10$ [/mm] von der Form [mm] $r\cdot{}\vektor{2\\1}$, [/mm] also etwa für $r=1$ der Eigenvektor aus der Lösung ...
> [mm]\Rightarrow x_2[/mm] = 0 und [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}x_2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Damit wäre [mm] $x_1=x_2=0$, [/mm] also der Nullvektor ein Eigenvektor, was per definitionem nicht sein kann!
>
>
> das ganze nochmal für [mm]\lambda_{2}=2[/mm]
> [mm]\pmat{ 6 & 8 \\ 2 & 6 }-2*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
> ...
> dann komme ich auf
> [mm]x_1=-2x_2[/mm]
> [mm]x_2=0[/mm]
Nein, dann wäre wieder [mm] $x_1=x_2=0$
[/mm]
Das darf nicht sein.
Schreibe die Matrix [mm] $(A-2\mathbb{E}_2)$ [/mm] doch mal hin.
Das ist [mm] $\pmat{4&8\\2&4}$
[/mm]
Hier addiere die 1.Zeile zum (-2)-fachen der 2.Zeile und berechne die Lösung analog zum anderen Eigenwert ...
>
> Ist bis dahin alles richtig??? und wie muss ich jetzt
> weiter machen um auf den Eigenvektor zu kommen? (laut
> Lösung ist [mm]x_1[/mm] = [mm]t*\vektor{2 \\ 1})[/mm] und [mm]x_2[/mm] = [mm]t*\vektor{-2 \\ 1}[/mm]
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:19 Sa 21.11.2009 | | Autor: | student87 |
Danke, für die schnelle Antwort, und das zu dieser Uhrzeit jetzt hab ich´s auch verstanden.
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