Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:44 Fr 12.01.2007 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Sei [mm] \[f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\text{ und es gilt:} -x^{2}\leq f(x)\leq x^{2}\]
[/mm]
Man zeige: $f(x) [mm] \text{ ist differenzierbar in } x_{0}=0$ [/mm] |
Hi,
ich schreibe hier mal meinen Beweis hin. Mich würde interessieren, ob ich meine gemachte Annahme auch wirklich so machen kann und ob der Beweis so stimmen würde oder nicht. Habe nämlich noch einen zweiten von meiner Übungspartnerin, verstehe diesen aber nicht so ganz. Also wenn ihr mir gesagt habt, wie es mit meinem aussieht dann wäre ich raus aus der Klemme, welchen ich denn nehmen sollte.
Beweis:
o.B.d.A sei f(x)=x
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow 0}\frac{x-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}=\begin{cases}1 \text{ für}& x>0\\ 1 \text{ für}& x<0\end{cases}
[/mm]
[mm] \[\text{Der Grenzwert von f(x)=x existiert an der Stelle } x_{0}=0.\] [/mm]
[mm] \[\text{Somit ist die Funktion f(x) an der Stelle } x_{0} \text{ differenzierbar.}\hspace{10} q.e.d.\]
[/mm]
Gruß,
clwoe
|
|
| |
|
Hi, clwoe,
> Sei [mm]\[f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\text{ und es gilt:} -x^{2}\leq f(x)\leq x^{2}\][/mm]
>
> Man [mm]zeige:\[f(x) \text{ ist differenzierbar in } x_{0}=0\][/mm]
>
> Hi,
>
> ich schreibe hier mal meinen Beweis hin. Mich würde
> interessieren, ob ich meine gemachte Annahme auch wirklich
> so machen kann und ob der Beweis so stimmen würde oder
> nicht. Habe nämlich noch einen zweiten von meiner
> Übungspartnerin, verstehe diesen aber nicht so ganz. Also
> wenn ihr mir gesagt habt, wie es mit meinem aussieht dann
> wäre ich raus aus der Klemme, welchen ich denn nehmen
> sollte.
>
> Beweis:
>
> o.B.d.A sei f(x)=x
Wie kommst Du darauf?
Diese Funktion erfüllt doch nicht die Voraussetzung
[mm] -x^{2} \le [/mm] f(x) [mm] \le x^{2} [/mm] !
z.B. für x=0,5 ist [mm] x^{2} [/mm] = 0,25 und somit [mm] x^{2} [/mm] < x (zumindest für diesen Wert!).
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
angela hat dir deinen einen Fehler schon gesagt, aber auch wenn du Eine fkt findest, die die Bedingung erfüllte, ist das nicht der Beweis dafür, dass es für alle fkt mit der Vors. gilt.
(dummes Beispielchen [mm] :n\in \IN [/mm] n<17.
Behauptung n ist durch 3 teilbar.
Dein Beweis:
9 erfüllt die Bedingung 9<17. 9 ist durch 3 teilbar.)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Fr 12.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hoppla,
da habe ich wohl ein bisschen daneben gelangt. War mir gar nicht bewusst, was für einen groben Fehler ich da gemacht habe. Nun gut, nun ist es mir klar, das es nicht geht.
Vielen Dank und Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo clwoe!
Zunächst folgt aus der Beziehung [mm] $-x^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ f(x) \ [mm] \le [/mm] \ [mm] +x^2$ [/mm] automatisch auch: [mm] $-0^2 [/mm] \ = \ 0 \ le \ f(0) [mm] \le [/mm] 0 \ = \ [mm] +0^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $f(0) \ = \ 0$ .
Dann musst Du halt die Existenz des Differenzialquotienten nachweisen: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-0}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)}{x} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
|
|
|
|
