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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion einer reellen Variablen x mit f(x) = [mm] \wurzel{3x + 5} [/mm] - 2.
a) Berechnen und vereinfachen Sie: p(h) := [mm] \bruch{f(x + h) - f(x)}{h}
[/mm]
b) Berechnen Sie lim für h -> 0 von p(h). |
Frage zu b): meine Lösung über Differenzenquotient und Differetialquotient stimmt nicht mit der Ableitung von p(x) überein. p'(x) = [mm] \bruch{3}{2\wurzel{3x + 5}}.
[/mm]
Meine Lösung:
p(h) = [mm] \bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} - \wurzel{3x + 5}}{h}
[/mm]
p(h) = [mm] \bruch{\wurzel{3(x + h) + 5}}{h} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{3x + 5}}{h}
[/mm]
gesucht: lim für h -> 0 von p(h)
Ich erweitere jeden der beiden Brüche mit seiner Wurzel :
p(h) = [mm] \bruch{3x + 3h + 5}{\wurzel{3x + 3h + 5} h} [/mm] - [mm] \bruch{3x + 5}{\wurzel{3x + 5} h}
[/mm]
für h -> 0 ergibt sich:
[mm] \wurzel{3x + 3h + 5} [/mm] -> [mm] \wurzel{3x + 5}
[/mm]
=> lim für h -> 0 von p(h) =
= [mm] \bruch{3x + 3h + 5 - (3x + 5)}{\wurzel{3x + 5}h}
[/mm]
= [mm] \bruch{3h}{\wurzel{3x + 5}h}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{\wurzel{3x + 5}}
[/mm]
Dieses Ergebnis stimmt aber nicht, da ja
p'(x) = [mm] \bruch{3h}{2\wurzel{3x + 5}h} [/mm] herauskommen müsste.
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> Gegeben sei die Funktion einer reellen Variablen x mit
> f(x) = [mm]\wurzel{3x + 5}[/mm] - 2.
> a) Berechnen und vereinfachen Sie: p(h) := [mm]\bruch{f(x + h) - f(x)}{h}[/mm]
>
> b) Berechnen Sie lim für h -> 0 von p(h).
> Frage zu b): meine Lösung über Differenzenquotient und
> Differetialquotient stimmt nicht mit der Ableitung von
> p(x) überein. p'(x) = [mm]\bruch{3}{2\wurzel{3x + 5}}.[/mm]
>
> Meine Lösung:
> p(h) = [mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} - \wurzel{3x + 5}}{h}[/mm]
>
> p(h) = [mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5}}{h}[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{3x + 5}}{h}[/mm]
>
> gesucht: lim für h -> 0 von p(h)
>
> Ich erweitere jeden der beiden Brüche mit seiner Wurzel :
>
> p(h) = [mm]\bruch{3x + 3h + 5}{\wurzel{3x + 3h + 5} h}[/mm] -
> [mm]\bruch{3x + 5}{\wurzel{3x + 5} h}[/mm]
>
> für h -> 0 ergibt sich:
>
> [mm]\wurzel{3x + 3h + 5}[/mm] -> [mm]\wurzel{3x + 5}[/mm]
>
> => lim für h -> 0 von p(h) =
>
> = [mm]\bruch{3x + 3h + 5 - (3x + 5)}{\wurzel{3x + 5}h}[/mm]
Stopp!
Beide Brüche gehen für h-->0 gegen unendlich bzw. -unendlich. Du kannst nicht bei einem im Nenner h in der Wurzel gegen 0 und außerhalb noch als h verwenden.
p(h) = [mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} - \wurzel{3x + 5}}{h}[/mm]= [mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} - \wurzel{3x + 5}}{h}[/mm]*[mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} + \wurzel{3x + 5}}{\wurzel{3(x + h) + 5} + \wurzel{3x + 5}}[/mm]
Jetzt wende auf den Zähler die 3. bin. Formel an...
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