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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Do 14.01.2010 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Sei $I [mm] \subset \IR$ [/mm] ein offenes Intervall und die Funktionen $f,g:I [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] differenzierbar.
Ausserdem gelte $f'(x) g(x) [mm] \ne [/mm] f(x) g'(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] I$.
Zeige nun: Hat f zwei verschiedene Nullstellen, so besitzt g stets eine Nullstelle dazwischen. |
Hi!
Beh.: der Satz "Hat f zwei ..." ist falsch
Bw: durch Gegenbeispiel
Sei f(x):= x²-4 und g(x):=(x-1)²; I=(-5,5)
f und g sind beide differenzierbar
[mm] $f'g=2x*(x-1)^2=2x(x^2-2x+1)=2x^{3}-2x^2+2x$
[/mm]
[mm] $fg'=(x^2-4)(2(x-1))=(x^2-4)(2x-2)=2x^{3}-2x^2-8x+8$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] f'g [mm] \ne [/mm] fg'$
Nullstellen von f(x): [mm] $x_{1}=-2 [/mm] , [mm] x_{2}=2$
[/mm]
Nullstelle von g(x): x=1
Kann man dass so beweisen?
Vielen dank für die Hilfe und lg
Ohlala
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 14.01.2010 | | Autor: | nooschi |
dein Beweis funktionniert so sicher nicht, du hast ja schlussendlich einfach ein Beispiel gegeben, wo der Satz stimmt, aber nicht gezeigt, dass der Satz im allgemeinen stimmt.
(Also genauer: du wolltest zeigen, dass die Negation des Satzes nie stimmt, hast aber nur gezeigt, dass die Negation des Satzes im Allgemeinen nicht stimmt. Wenn du gezeigt hättest, dass die Negation des Satzes nie stimmt, wäre der Beweis korrekt.)
Andere Lösungsvorschläge hab ich aber nicht, deshalb mein Post nur als Mitteilung ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Do 14.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]I \subset \IR[/mm] ein offenes Intervall und die Funktionen
> [mm]f,g:I \rightarrow \IR[/mm] differenzierbar.
> Ausserdem gelte [mm]f'(x) g(x) \ne f(x) g'(x)[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm].
>
> Zeige nun: Hat f zwei verschiedene Nullstellen, so besitzt
> g stets eine Nullstelle dazwischen.
Falls g keine Nullstellen hat, betrachte [m]\bruch{f}{g}[/m] - dies Funktion hat 2 Nullstellen, und daher irgendwo eine Stelle wo die Ableitung verschwindet, was einen Widerspruch zur anderen Vorraussetzung ist.
> Beh.: der Satz "Hat f zwei ..." ist falsch
Das ist eine Annahme, kein Satz.
> Bw: durch Gegenbeispiel
Das zeigt den obigen Satz nicht.
SEcki
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