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Definitionsmenge, Extrempunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 So 09.08.2009
Autor: matherein

Aufgabe
Hallo Zusammen,

die Aufgabe lautet:
Der Graph der Funktion f mit f(x) = ln(ax²+bx) hat im Punkt P(1/ln(2)) eine waagerechte Tangente.
b) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge
c) Ist P ein Hoch-, Tief- oder ein Wendepunkt?

Hallo an Alle,

zu b) im Lösungsbuch steht: Es muss sein: -2x²+4x>0 oder 2x*(-x+2)>0, also (x>0 und x<2) oder (x<0 und x>2), also 0<x<2. Damit [mm] D_{f} [/mm] = (0;2).

Was ich nicht verstehe ist, wie x gleichzeitig <0 und >2 sein kann!?

zu c) Im Lösungsbuch steht: Wegen f''(1) = -2<0 liegt in P ein Hochpunkt vor.  Aber ist f''(1) nicht eher = 2 und liegt damit in P nicht ein Tiefpunkt vor?

matherein

        
Bezug
Definitionsmenge, Extrempunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 So 09.08.2009
Autor: MathePower

Hallo matherein,

> Hallo Zusammen,
>
> die Aufgabe lautet:
>  Der Graph der Funktion f mit f(x) = ln(ax²+bx) hat im
> Punkt P(1/ln(2)) eine waagerechte Tangente.
> b) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge
>  c) Ist P ein Hoch-, Tief- oder ein Wendepunkt?
>  Hallo an Alle,
>  
> zu b) im Lösungsbuch steht: Es muss sein: -2x²+4x>0 oder
> 2x*(-x+2)>0, also (x>0 und x<2) oder (x<0 und x>2), also
> 0<x<2. Damit [mm]D_{f}[/mm] = (0;2).
>  
> Was ich nicht verstehe ist, wie x gleichzeitig <0 und >2
> sein kann!?


Nun, für [mm]2x*\left(2-x\right)>0[/mm] gibt es zwei Fölle:

i) [mm]x > 0 \wedge 2-x > 0 \Rightarrow 0
ii) [mm]x<0 \wedge 2-x<0 [/mm]

Dieser Fall hat aber keine Lösungsmenge, da x<0 und x>2 nicht gleichzeitig erfüllt sein können.


>  
> zu c) Im Lösungsbuch steht: Wegen f''(1) = -2<0 liegt in P
> ein Hochpunkt vor.  Aber ist f''(1) nicht eher = 2 und
> liegt damit in P nicht ein Tiefpunkt vor?


Das ist schon richtig, daß bei x=1 ein Hochpunkt vorliegt.


>
> matherein


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Definitionsmenge, Extrempunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Mo 10.08.2009
Autor: matherein

Guten Tag Mathepower,

die Fälle [mm]x > 0 \wedge 2-x > 0 \Rightarrow 0
[mm]x<0 \wedge 2-x<0 [/mm] stehen auch im Buch und für mich sind sie auch logisch.
Aber auf jeden Fall kann also (x<0 und x>2) nicht sein. Ist wohl also ein Fehler im Buch.

zu c) stimmt, da habe ich mich wohl verrechnet. f''(1) ergibt -2.

Danke für die Antworten!
matherein




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