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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Di 01.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL.
Y´- [mm] \bruch{y}{x}- (\bruch{y}{x})^{2}=0
[/mm]
Geben Sie den Definitionsbereich der Lösung an. |
als Lösung erhalte ich
y= [mm] \bruch{x}{c-ln|x|} [/mm] und als Definitionsbereich hätte ich folgendes angegeben
[mm] D=\IR \{0,e^{c}, - e^{c} \}
[/mm]
In der Müsterlösung steht aber etwas von 1. und 2. Lösung und auch der Definitionsbereich ist anders angegeben, kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?
So schaut die Musterlösung aus:
1. Lösung y=0 mit [mm] D_{1}= (-\infty,0); D_{2} =(0,+\infty)
[/mm]
2. Lösung y= [mm] \bruch{x}{c-ln|x|} [/mm] mit [mm] D_{1}= (-\infty,-e^{c});D_{2}= (,-e^{c},0);D_{3}=(0,e^{c}), D_{4}=(e^{c},\infty)
[/mm]
Ist Lösung 2. gleich mit der von mir angegebene Definitionsbereich? Wie komme ich zu eine Lösung y=0?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Sandy90,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL.
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> Y´- [mm]\bruch{y}{x}- (\bruch{y}{x})^{2}=0[/mm]
>
> Geben Sie den Definitionsbereich der Lösung an.
> als Lösung erhalte ich
>
> y= [mm]\bruch{x}{c-ln|x|}[/mm] und als Definitionsbereich hätte ich
> folgendes angegeben
>
> [mm]D=\IR \setminus\{0,e^{c}, - e^{c} \}[/mm]
Eine Lösungsfunktion ist immer auf zusammenhängenden Mengen definiert, hier auf (zusammenhängenden) Intervallen
>
> In der Müsterlösung steht aber etwas von 1. und 2.
> Lösung und auch der Definitionsbereich ist anders
> angegeben, kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?
>
> So schaut die Musterlösung aus:
>
> 1. Lösung y=0 mit [mm]D_{1}= (-\infty,0); D_{2} =(0,+\infty)[/mm]
Ja, denn die Dgl. ist für [mm]x=0[/mm] nicht definiert, die triviale Lösung [mm] $y\equiv [/mm] 0$ ist damit auf den o.a. Intervallen Lösung.
Du darsfst nicht etwa schreiben [mm]y:\IR\setminus\{0\}\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
Weil [mm]\IR\setminus\{0\}[/mm] nicht zusammenhängend ist.
>
> 2. Lösung y= [mm]\bruch{x}{c-ln|x|}[/mm] mit [mm]D_{1}= (-\infty,-e^{c});D_{2}= (,-e^{c},0);D_{3}=(0,e^{c}), D_{4}=(e^{c},\infty)[/mm]
>
> Ist Lösung 2. gleich mit der von mir angegebene
> Definitionsbereich?
Ja, aber aus den Definitionslücken muss man wieder Intervalle basteln, auf denen eine Lsg. erst definiert ist.
> Wie komme ich zu eine Lösung y=0?
Na [mm]y\equiv 0[/mm] ist doch triviale Lsg. der Dgl.: [mm]0-0-0=0[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 01.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank für die Antwort. Ok, dann werde ich ab jetzt versuchen zusammenhängenden Mengen zu definieren.
Zu der trivialen Lösung [mm] y\equiv0 [/mm] habe ich noch eine Frage:
Ist es ein großer Fehler wenn ich das vergesse? Ich wäre nicht auf die Idee gekommen zu testen ob [mm] y\equiv0 [/mm] gilt. d.h also ich teste einfach nur ob 0 eine Lösung ist und setze für y=0 in die DGL ein... also so (?):
/y=0 => Y'=0/
0- 0/x- [mm] (0/x)^{2}=0 [/mm] [stimmt, also ist y=0 eine Lösung (???)] für den Def. Bereich (ok, ich darf [mm] \R{0} [/mm] nicht schreiben, also D1=(- [mm] \infty,0) [/mm] D2= (0, [mm] \infty) [/mm] kann ich es so schreiben:
D= (- [mm] \infty,0)\cup (0,\infty) [/mm]
(ach nein, sonst würde die 0 dazu gehören oder?)
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
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> vielen Dank für die Antwort. Ok, dann werde ich ab jetzt
> versuchen zusammenhängenden Mengen zu definieren.
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> Zu der trivialen Lösung [mm]y\equiv0[/mm] habe ich noch eine
> Frage:
>
> Ist es ein großer Fehler wenn ich das vergesse?
Naja, wie schwer das bewertet wird, weiß ich nicht, aber es ist nunmal auch eine der Lösungen der Dgl.
Wenn du alle Lösungen bestimmen sollst, gehört die triviale Lsg auch dazu 
> Ich wäre
> nicht auf die Idee gekommen zu testen ob [mm]y\equiv0[/mm] gilt. d.h
> also ich teste einfach nur ob 0 eine Lösung ist und setze
> für y=0 in die DGL ein... also so (?):
>
> /y=0 => Y'=0/
>
> 0- 0/x- [mm](0/x)^{2}=0[/mm] [stimmt, also ist y=0 eine Lösung
> (???)]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für den Def. Bereich (ok, ich darf [mm]\R{0}[/mm] nicht
> schreiben, also D1=(- [mm]\infty,0)[/mm] D2= (0, [mm]\infty)[/mm] kann ich es
> so schreiben:
> D= (- [mm]\infty,0)\cup (0,\infty)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist keine zusammenhängende Menge.
Du musst die triv. Lösung auf 2 Funktionen aufteilen.
[mm] $y_1:(-\infty)\to \IR, x\mapsto [/mm] 0$
[mm] $y_2;(0,\infty)\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$
> (ach nein, sonst würde die 0 dazu gehören oder?)
Nein die gehört nicht zur Vereinigung, deine Menge oben ist anders geschrieben [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] - nicht zusammenhängend!
Gruß
schachuzipus
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