Hallo,
ich habe in einem Buch eine Gleichung für einen Erwartungswert gefunden, und zwar
[mm] E(\sigma) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}P(\sigma>n)
[/mm]
für eine Zufallsgröße [mm] \sigma.
[/mm]
Gilt diese Gleichung immer? Falls nicht, wann gilt sie (z.B. nur für diskrete Zufallsgrößen oder so...)?
Vielen Dank und schöne Grüße,
djmatey
> ich habe in einem Buch eine Gleichung für einen
> Erwartungswert gefunden, und zwar
> [mm]E(\sigma)[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}P(\sigma>n)[/mm]
> für eine Zufallsgröße [mm]\sigma.[/mm]
> Gilt diese Gleichung immer? Falls nicht, wann gilt sie
> (z.B. nur für diskrete Zufallsgrößen oder so...)?
Sie gilt genau dann, wenn [mm] $P(\sigma \in \IN) [/mm] = 1$ ist. (Dabei soll [mm] $\IN$ [/mm] die $0$ enthalten!)
Wie man auf die Gleichung kommt: fuer solche ZVen gilt ja [mm] $E(\sigma) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty [/mm] n [mm] P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] n [mm] P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{n=1}^\infty \sum_{i=1}^n P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{1 \le i \le n < \infty} P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{i=1}^\infty \sum_{n=i}^\infty P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{i=1}^\infty P(\sigma \in \{ i, i+1, i+2, \dots \}) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^\infty P(\sigma \ge [/mm] i) = [mm] \sum_{i=1}^\infty P(\sigma [/mm] > i - 1) = [mm] \sum_{i=0}^\infty P(\sigma [/mm] > i)$. Sorry fuer die lange Formel Wenn du dazu Fragen hast gib bitte das entsprechende Gleichheitszeichen oder den Gleichungsteil mit an
Wenn du dazu Fragen hast gib bitte das entsprechende Gleichheitszeichen oder den Gleichungsteil mit an 