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Hallo ihr Lieben,
Ich sitze gerade über meinen Übungsaufgaben, bin mir aber nciht sicher, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin...
Es geht um folgende Aufgabe:
Man bestimme ein Lösungs-Fundamentalsystem der DGL
y'' + [mm] \bruch{a}{x} [/mm] y' + [mm] \bruch{b}{ x^{2}} [/mm] y = 0 ,
x > 0, a,b [mm] \in \IR
[/mm]
ich habe nun folgende Lösung:
mit [mm] \bruch{a}{x} [/mm] = z und [mm] \bruch{b}{ x^{2}} [/mm] = p
bekomme ich die charakteristische Gleichung y'' + zy' + py = 0
Diese hat die Nullstellen [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch{z}{4} \pm \wurzel{\bruch{z^{2}}{16} - \bruch{p}{2}}
[/mm]
Damit würde das Ergebnis doch [mm] e^{\lambda_{1}} [/mm] und [mm] e^{\lambda_{2}} [/mm] heißen, oder bin ich da vollständig auf dem Holzweg???
Danke schon mal allen, die sich dies durchgelesen haben und mir evtl auch noch ein bißchen weiterhelfen können...
Schönes Wochenende,
Sarah
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Hallo mathefreundin,
> Hallo ihr Lieben,
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> Ich sitze gerade über meinen Übungsaufgaben, bin mir aber
> nciht sicher, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg
> bin...
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> Es geht um folgende Aufgabe:
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> Man bestimme ein Lösungs-Fundamentalsystem der DGL
> y'' + [mm]\bruch{a}{x}[/mm] y' + [mm]\bruch{b}{ x^{2}}[/mm] y = 0 ,
> x > 0, a,b [mm]\in \IR[/mm]
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> ich habe nun folgende Lösung:
>
> mit [mm]\bruch{a}{x}[/mm] = z und [mm]\bruch{b}{ x^{2}}[/mm] = p
> bekomme ich die charakteristische Gleichung y'' + zy' +
> py = 0
> Diese hat die Nullstellen [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = - [mm]\bruch{z}{4} \pm \wurzel{\bruch{z^{2}}{16} - \bruch{p}{2}}[/mm]
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> Damit würde das Ergebnis doch [mm]e^{\lambda_{1}}[/mm] und
> [mm]e^{\lambda_{2}}[/mm] heißen, oder bin ich da vollständig auf dem
> Holzweg???
da bist Du leider auf dem Holzweg.
Multipliziere zunächst die DGL mit [mm]x^2[/mm] durch. Somit erhalten wir eine sogenannte Eulesche DGL, welche durch die Substitution [mm]y\left( x \right)\; = \;u\;\left( {\ln \;x} \right)[/mm] in eine lineare DGL zweiter Ordnung übergeht.
Von dieser kannst Du nun die Lösungen ermitteln.
Gruß
MathePower
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