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| Aufgabe | | Beweisen Sie das das charakteristische Polynom unabhängig der Basis ist! |
Hallo Leute,
ich wollte nochmal sichergehen das ich den Beweis auch richtig verstanden hab und versuche mal mit meinen Worten zu erklären wie ich das beweisen würde... wär nett wenn jemand mal drüber schaut und mir sagen könnte ob meine Gedankengänge richtig sind 
Also, sei f: V [mm] \mapsto [/mm] V linear ( also f ist ein Endomorphismus)
das charackteristische Polynom ist defieniert als [mm] x_{A(f)}:= [/mm] det (A - xE)
um zu Beweisen das [mm] x_{A(f)} [/mm] unabhängig von der Wahl der Basis ist sei A'(f) die Darstellungsmatrix einer anderen Basis bzgl. V
zu zeigen ist nun das [mm] x_{ A'(f) } [/mm] = [mm] x_{ A(f) }
[/mm]
Beweis:
[mm] x_{A'(f)} [/mm] = det( A' - x E)= det( [mm] S^{-1} [/mm] A S -x E)
( dies gilt nach dem Spezialfall der Transformationsformel für Endomorphismen also wenn
f: V [mm] \mapsto [/mm] V die gleiche Basis haben) = det( [mm] S^{-1} [/mm] A S [mm] -xS^{-1} [/mm] S)
= det( [mm] S^{-1} [/mm] ( A - x E) S )
( NR :da [mm] S^{-1} [/mm] ( A - x E) S
= [mm] (S^{-1} [/mm] A - x [mm] S^{-1} [/mm] E) S= [mm] (S^{-1} [/mm] A - x [mm] S^{-1}) [/mm] S
= [mm] S^{-1} [/mm] A S - x [mm] S^{-1} [/mm] S )
= det [mm] S^{-1} [/mm] det (A - x E) det S
= det (A - x E)
bei der letzten Gleichung bin ich mir nicht ganz sicher aus welchen Grund sie gilt! ist es weil gilt det [mm] S^{-1} [/mm] det (A - x E) det S= det [mm] S^{-1} [/mm] det S det (A - x E)= det [mm] (S^{-1} [/mm] S) det (A - x E) = det E det (A - x E)= det (A - x E) oder hat das einen anderen Grund?
liebe Grüße Seamus
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles O. K.
det $ [mm] S^{-1} [/mm] $ det (A - x E) det S
= det (A - x E), weil
$det [mm] S^{-1}*det [/mm] S = [mm] det(S^{-1}S) [/mm] =det(E) = 1$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mo 28.09.2009 | | Autor: | seamus321 |
Alles klar, danke für die schnelle Hilfe!
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