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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Do 22.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] eine Abbildung gegeben durch [mm] F\pmat{ x \\ y \\ z } [/mm] = [mm] \pmat{ x+y \\ y+z }
[/mm]
Zeigen Sie, dass F [mm] \IR-Linear [/mm] ist, bestimmen sie die Dimension von Im(F) und Ker(F) und geben sie für Im(F) und Ker(F) jeweils eine Basis an. |
Ich wollte wissen ob meine Lösung zulässig ist oder zu "unmathematisch"?
Nachweisen der Linearität ist reines rechnen und klammere ich hier aus.
Dann habe ich mir überlegt, dass der Kern von f aus allen jenen Elementen aus [mm] \IR^3 [/mm] besteht für die gilt x-y=0 und y-z=0 also x=-y=z.
Damit wird Ker(f) von einem Vektor mit der Eigenschaft [mm] \pmat{ x \\ -x \\ x } [/mm] aufgespannt. Der kleinste solche ist [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] also: [mm] Ker(f)=<\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] >
Daraus folgt dim Ker(F) = 1
Daraus folgt wiederum mit hilfe der Dimensionformel dim [mm] \IR^3 [/mm] = dim Ker(F) + dim Im(F) (3 = 1 + x), dass die Dimension des Bildes 2 ist ( dim Im(F) = 2 ).
Da dies mit der Dimension des "Zielraums" [mm] \IR^2 [/mm] der Abbildung übereinstimmt wird Im(F) von der Standartbasis im [mm] \IR^2 [/mm] aufgespannt.
Also [mm] Im(F)=<\pmat{1 \\ 0}, \pmat{0 \\ 1}>.
[/mm]
Kann ich das so machen?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
[mm] \pmat{ t \\ -t \\ t }=t\cdot{}\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] also Span(Ker(f))= alle LKs von [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] [ich würde eine andere Variable nehmen als x, weil die oben schon in Gebrauch ist - besser t oder [mm] \lambda [/mm] oder oder..]
