Bijektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Di 01.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hi, an alle.....
möchte beweisen, dass [mm] g:\IR_{\ge1} \to ]0,\bruch{1}{2}] [/mm] mit
[mm] g(x)=\bruch{x}{1+x^2} [/mm] bijektiv ist. Nun, dass g injektiv ist, habe ich bereits
eingesehen und bewiesen, aber wie beweise ich nun am besten die
Surjektivität von g?
Normalerweise kann man [mm] g(x)=y=\bruch{x}{1+x^2} [/mm] nach x umstellen,
dann ist das nicht mehr das Problem, aber hier komm ich einfach nicht
weiter. Am liebsten hätte ich ja das x auf der einen seite und die y's auf der
anderen. Vielleicht kann mir jemand freundlicherweise helfen!? Vielen Dank.
MFG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Wie wäre es mit streng monoton fallend und stetig. Dann folgt die Bijektivtät ( also insbesondere die Surjektivität) aus dem Zwischenwertsatz und aus:
1) g(1)=1/2
2) g strebt gegen 0 für x gegen unendlich
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 01.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, die Injektivität hab ich auch mit der Eigenschaft "streng monoton
fallend" bewiesen. Für den Tipp mit dem Zwischenwertsatz und der
Stetigkeit schon mal auch danke schön.
Nun möchte ich aber auch die Umkehrfunktion [mm] g^{-1} [/mm] zu g bestimmen, und
da stehe ich doch wieder vor dem gleichen Problem, oder sehe ich das nicht
richtig?
|
|
|
| |
|
Die Auflösung nach [mm]x[/mm] führt, nachdem man die Gleichung mit dem Nenner durchmultipliziert hat, auf eine quadratische Gleichung in [mm]x[/mm]. Für deren Lösung gibt es aber eine bekannte Formel. Nur auf das richtige Vorzeichen der Wurzel muß man noch achten.
|
|
|
| |
|
Hey....
Habe inzwischen festgestellt, dass die gegebene Funktion g wegen dem
Definitionsbereich sowieso nur genau einen einzigen Punkt des Graphen
beschreibt. Ist so eine Funktion dann nicht immer bijektiv?
MFG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 So 06.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
