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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 16.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] D := \{ z \in \IC \| \left| z \right| \le 1 \} [/mm] und sei [mm] (f_n ] [/mm] eine gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen [mm] f_n : D \to \IC [/mm] .
Zeigen Sie, dass es ein [mm] R > 0 [/mm] gibt mit [mm] f_n(z) \in B_R(0) \forall n \in \IN , \forall z \in D . [/mm]
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Hallo!
Dies war eine Aufgabe aus der ersten Klausur, bei der ich nicht wusste wie ich das beweisen kann. Ich bin leider nicht so fit in beweisen, und deswegen weiß ich heute immernoch nicht wie ich die Aufgabe lösen kann!
Wäre für jede Hilfe dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Mi 17.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
da [mm] $f_n \longrightarrow [/mm] f$ gleichmäßig muss die grenzfunktion stetig sein (das sollte aus der vorlesung bekannt sein). wegen der gleichmäßigen konvergenz gibt es ein $N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $\forall \, [/mm] n [mm] \geq [/mm] N: [mm] \|f_n [/mm] - f [mm] \|_\infty \leq [/mm] 1$. dann gilt für alle $z [mm] \in [/mm] D$ und alle $n [mm] \geq [/mm] N$:
[mm] $|f_n(z)| \leq \sup_{z \in D} |f_n(z)| [/mm] = [mm] \|f_ n\|_\infty \leq \|f_n [/mm] - [mm] f\|_\infty [/mm] + [mm] \|f\|_\infty [/mm] = 1 + [mm] \|f\|_\infty [/mm] =: [mm] R_N [/mm] < [mm] \infty$ [/mm]
weiter gibt es für $n = 1, ..., N-1$ jeweils ein [mm] $R_n \in [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm] mit [mm] $|f_n(z)| \leq R_n$, [/mm] da die stetigen funktionen [mm] $|f_n| [/mm] : D [mm] \longrightarrow \mathbb{R}; \; [/mm] z [mm] \longmapsto |f_n(z)|$ [/mm] auf der kompakten menge $D$ beschränkt sind (sogar ihr maximum und minimum annehmen).
nun kann man verifizieren, dass mit $R := [mm] \max_{n = 1, ..., N} R_n [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] gilt:
[mm] $\forall \, [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} \; \forall \, [/mm] z [mm] \in [/mm] D : [mm] f_n(z) \in B_R(0)$ [/mm]
so das war mal eine skizze des beweises, die details solltest du selbst noch ausfüllen können, wenn du damit probleme hast, kannst du gerne nochmal nachfragen.
grüße
andreas
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