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| Aufgabe | Zeigen Sie die folgende Aussage:
Sei [mm] <_M [/mm] eine strikte Ordnungsrelation auf einer Menge M. Dann wird durch [mm] a \le_M b [/mm] a [mm] <_M [/mm] b oder a = b
eine teilweise Ordnung [mm] \le_M [/mm] auf M definiert. |
1. Def. strikte Ordnung: asymmetrisch und transitiv.
Def. teilweise Ordnung: asymmetrisch, transitiv, reflexiv
es folgen die Def. für die einzelnen Relationen:
(1) asymmetrisch: [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] M : (a,b) [mm] \in [/mm] R => (b,a) [mm] \not\in [/mm] R , d.h. aRb und bRa
(2) transitiv: [mm] \forall [/mm] (a,b,c) [mm] \in [/mm] M : (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R => (a,c) [mm] \in [/mm] R
(3) reflexiv: [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] M : (a,b) [mm] \in [/mm] R
Zu zeigen: [mm] \le [/mm] ist eine teilweise Ordnung auf M
Es gilt also Asymmetrie, Transivität und Reflexivität zu beweisen:
Asymmetrie: Beweis durch Widerspruch
zu zeigen: a < b und [mm] \neg [/mm] (b < a)
Annahme: a < b und b < a
a-b < 0 und b-a < 0
=> (a-b) + (b-a) < 0
= 0 < 0 (Widerspruch!)
Transitivität: zu zeigen: wenn a < b und b < c => a < c
a-b < 0 und b-c < 0
=> (a-b)+(b-c) < 0
= a-b + b-c < 0
= a - c < 0 q.e.d.
Reflexivität: zu zeigen: a = b
Bei der Reflexivität bin ich mir nicht sicher, wie ich dieses beweisen soll. Hier wäre ein Tipp oder Denkansatz sehr nett von euch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. lg, Mirco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mi 26.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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