Beweis mit Bisektionsverfahren < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:28 Di 12.06.2007 | | Autor: | Sarahy |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] e^x [/mm] = -x.
Beweisen Sie, dass die Gleichung nur eine Lösung hat. |
Guten Morgen,
ich soll oben genannte Gleichung beweisen, komme nur irgendwie an dieser Stelle nicht weiter. Ich habe mir Folgendes gedacht:
Mit dem Bisektionsverfahren bestimme ich Nullstellen, also [mm] e^x-x=0 [/mm] .
Wenn ich nachweisen könnte, dass oben genannte Funktion a) Stetig ist, b) im Intervall + / - unendlich streng monoton steigend und c) es nur einen Vorzeichenwechsel (an der Nullstelle) gibt, wäre die Sache theoretisch gegessen.
Hat jemand eine Idee, wie ich oben gesagtes Aufschreiben kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Liebe Grüsse,
Sarahy
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Di 12.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Gegeben sei [mm]e^x[/mm] = -x.
> Beweisen Sie, dass die Gleichung nur eine Lösung hat.
> ich soll oben genannte Gleichung beweisen,
Das ist eine Bestimmungsgleichung, die kann man nicht 'beweisen'. Beweisen sollst du darunter stehende Aussage über die Lösungsmenge.
> komme nur
> irgendwie an dieser Stelle nicht weiter. Ich habe mir
> Folgendes gedacht:
> Mit dem Bisektionsverfahren bestimme ich Nullstellen, also
> [mm]e^x-x=0[/mm] .
Vorzeichenfehler: [mm] e^{x} [/mm] + x = 0
> Wenn ich nachweisen könnte, dass oben genannte Funktion a)
> Stetig ist, b) im Intervall + / - unendlich streng monoton
> steigend und c) es nur einen Vorzeichenwechsel (an der
> Nullstelle) gibt, wäre die Sache theoretisch gegessen.
Stetig ist klar als Summe von stetigen Funktionen, streng monoton folgt z.B. mit Hilfe der 1. Ableitung, wenn das erlaubt ist. Dann kann es höchstens eine Nullstelle geben. Wenn es 2 gäbe, gäbe es dazwischen eine Nullstelle der 1. Ableitung nach dem Mittelwertsatz.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Di 12.06.2007 | | Autor: | Sarahy |
Hallo Dieter,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
>Stetig ist klar als Summe von stetigen Funktionen, streng monoton folgt >z.B. mit Hilfe der 1. Ableitung, wenn das erlaubt ist. Dann kann es >höchstens eine Nullstelle geben. Wenn es 2 gäbe, gäbe es dazwischen >eine Nullstelle der 1. Ableitung nach dem Mittelwertsatz.
Die Folgerung, warum es nur eine Nullstelle geben kann, habe ich noch nicht ganz verstanden. Wie ist das begründet?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Di 12.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> >Stetig ist klar als Summe von stetigen Funktionen, streng
> monoton folgt >z.B. mit Hilfe der 1. Ableitung, wenn das
> erlaubt ist. Dann kann es >höchstens eine Nullstelle geben.
> Wenn es 2 gäbe, gäbe es dazwischen >eine Nullstelle der 1.
> Ableitung nach dem Mittelwertsatz.
>
> Die Folgerung, warum es nur eine Nullstelle geben kann,
> habe ich noch nicht ganz verstanden. Wie ist das
> begründet?
Wenn f differenzierbar und a [mm] \not= [/mm] b, dann gibt es [mm] \xi [/mm] zwischen a und b mit
[mm] f'(\xi) [/mm] = [mm] \bruch{f(a) - f(b)}{a - b}
[/mm]
Hier wäre dann ja f(a) = f(b) = 0.
Sonst guck mal nach Mittelwertsatz, müßte bei Wikipedia stehen.
Gruß
Dieter
|
|
|
|
