Aufgabe #98 (SpaMO),(?) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:45 So 18.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
In der Ebene sind $n$ Punkte so verteilt, dass alle Abstände zwischen den Punkten einander verschieden sind. Jeder Punkt ist mit dem Punkt verbunden, der ihm am nächsten liegt. Man zeige, dass kein Punkt mit mehr als 5 Punkten verbunden ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
Ich nehme an, es gäbe einen Punkt M, der mit den Punkten [mm] A_1..A_6 [/mm] (reihum gegen den Uhrzeigersinn benannt) verbunden wäre.
Bezeichnet man die Winkel, [mm] $\angle A_iMA_{i+1}$ [/mm] mit [mm] $\alpha_i$ [/mm] (i=1,..6). So muss jeder Winkel [mm]\alpha_i>60°[/mm]sein, da sonst in einem Dreieck [mm] A_iMA_{i+1} [/mm] sicherlich [mm] A_iA_{i+1} [/mm] nicht größte Seite sein könnte, sondern vielmehr eine der Strecken [mm] MA_i [/mm] oder [mm] MA_{i+1}; [/mm] dies ist aber ein Widerspruch zur Vorraussetzung.
Damit ist aber [mm] $\alpha_1+...+\alpha_6 [/mm] > 360°$ und gewiss nicht 360° - Widersprung!
Gruß Samuel
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
, sehr schön!
