Aufgabe #18 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:57 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: Bundesrunde Mathe-Olympiade Klasse 12-13
Es seien [mm] $f(x)=x^5+5x^4+5x^3+5x^2+1$ [/mm] und [mm] $g(x)=x^5+5x^4+3x^3-5x^2-1$. [/mm] Man ermittle alle diejenigen Primzahlen $p$, für die es ein natürliches $x$ mit [mm] $0\leq [/mm] x<p$ so gibt, dass $p$ sowohl $f(x)$ als auch $g(x)$ teilt. Für solche Primzahlen ermittle man alle $x$, für die dies zutrifft.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 20.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo zusammen
Wenn p die Polynome f(x) und g(x) teilt, dann auch die Summe f(x)+p(x) und die Differenz f(x)-g(x).
Man berechnet
[mm] $f(x)+g(x)=2x^5+10x^4+8x^3=2x^3(x+4)(x+1)$ [/mm] und
[mm] $f(x)-g(x)=2x^3+10x^2+2=2(x^3+5x^2+1)$
[/mm]
Aus p teilt f+g entnimmt man, dass p teilt 2 oder p teilt x+1 oder p teilt x+4.
P teilt 2 geht nicht, denn dann müsste x=1 sein (x=0 geht sowieso nicht) aber f(1)=17.
a) p teilt x+1, dann berechnet man [mm] $\frac12(f(x)-g(x))=(x+1)(x^2+4x-4)+5$
[/mm]
also teilt p die Zahl 5 und somit ist p=5 (und x=4).
b) p teilt x+4, dann berechnet man [mm] $f\frac12((x)-g(x))=(x+4)(x^2+x-4)+17$
[/mm]
also teilt p die Zahl 17 und somit ist p=17 (und x=13).
A propos: Teilt p die Polynome f(x)+g(x) und f(x)-g(x), dann teilt p auch die Polynome f(x) und g(x), wenn p die Zahl 2 nicht teilt (denn 2f(x)=(f(x)+g(x))+(f(x)-g(x)) und 2g(x)=(f(x)+g(x))-(f(x)-g(x))), dies ist für die Fälle a) und b) erfüllt.
mfG Moudi
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