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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Anfangswertproblem - Problem
Anfangswertproblem - Problem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anfangswertproblem - Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 So 24.01.2010
Autor: Cybrina

Aufgabe
Bestimmen Sie eine Lösung des Anfangswertproblems (eventuell mit Hilfe einer geeigneten Substitution)

[mm] u'(t)=(u(t)+t)^2 [/mm]

Irgendwie steh ich aufm Schlauch. Hab schon ganz viele Substitutionen ausprobiert, aber immer wenn ich mein Ergebnis in die DGL einsetze, stimmt es nicht. Hier mal mein letzter Versuch:

[mm] u'=(u+t)^2 [/mm]

Substitution: [mm] z=\bruch{1}{u+t}, z'=-\bruch{u'}{(u+t)^2} [/mm]

[mm] \Rightarrow u=\bruch{1}{z}-t, u'=-z'*(u+t)^2 [/mm]

Einsetzen:
[mm] -z'*(u+t)^2=(u+t)^2 [/mm] bzw.
z'=-1
[mm] \Rightarrow [/mm] z=-t+c
[mm] \Rightarrow u=\bruch{1}{-t+c}-t [/mm]

AW ergibt c=1

[mm] \Rightarrow u(t)=\bruch{1}{1-t}-t [/mm]

[mm] \Rightarrow u'(t)=-\bruch{1}{(1-t)^2}-1 [/mm]

Das stimmt aber nicht, wenn man es in die DGL einsetzt.

Wo liegt also der Fehler?

Danke schonmal,

        
Bezug
Anfangswertproblem - Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 So 24.01.2010
Autor: AT-Colt


> Substitution: [mm]z=\bruch{1}{u+t}, z'=-\bruch{u'}{(u+t)^2}[/mm]
>  
> Wo liegt also der Fehler?

Du hast nur das $u(t)$ im Nenner differenziert, das $t$ hätte auch differenziert werden müssen. Es ist $z' = [mm] -\frac{u'+1}{(u+t)^2}$. [/mm]

Gruß,

AT-Colt

Bezug
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