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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:52 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Freaky |
| Aufgabe | | Sei $u$ eine stetige Funktion in [mm] $L^{1}(\mathbb{R})$ [/mm] sodass $u(x)>0$ für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] . Zeige, dass die Fouriertransformierte [mm] $\hat{u}$ $$|{\hat{u}(\xi)}|<\hat{u}(0)\qquad \text{für alle } \xi\neq [/mm] 0 $$ erfüllt. |
Hallo zusammen,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Man sieht mittels
[mm] \begin{egnarray*} |\hat{u}(\xi)|& = \left|{\int_{} u(x)\, e^{-i \xi x}\, dx}\right| \leq \int_{} |u(x)\, e^{-i \xi x}|dx\\
& = \int_{\R} |u(x)| dx \overset{u(x)>0}{=} \int_{\R} u(x)\, dx = \int_{\R} u(x)\, \underbrace{e^{-i 0 x}}_{=1} \, dx = \hat{u}(0)\\
\end{eqnarray*}
[/mm]
dass [mm] $|{\hat{u}(\xi)}|\leq\hat{u}(0)$ [/mm] für alle [mm] $\xi$ [/mm] gilt, aber warum gilt die strikte Ungleichung für [mm] $\xi \not [/mm] = 0$?
Ich vermute, dass es auf einen Widerspruch zu [mm] $u\in L^{1}(\mathbb{R})$ [/mm] oder dem Lemma von Riemann-Lebesgue hinausläuft, aber ich konnte die Annahme [mm] $|{\hat{u}(\xi)}|=\hat{u}(0)$ [/mm] bislang noch zu keinem Widerspruch führen.
Für einen Hinweis wäre ich daher sehr dankbar,
Freaky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 16.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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