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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:57 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
hab ne Frage aus dem Gebiet der Graphentheorie.
Ich möchte folgende Ungleichung zeigen
[mm]\summe_{\Gamma,|\Gamma|\ge m} e^{|\Gamma|-m}E(w(\Gamma))^2\le e^{-m}*\produkt_{\gamma}(1+E(w(\gamma))^2*e^{|\gamma|})[/mm]
wobei hier links über alle geschlossenen* Graphen auf der Knotenmenge [mm] V(\Gamma)={1,...n} [/mm] mit Mindestlänge m summiert wird. Man kann jeden geschlossenen Graphen als Verknüpfung von Kreisen [mm] \gamma [/mm] (als Abkürzung quasi von [mm]\Gamma=\gamma_1\circ...\circ\gamma_n[/mm]darstellen. (*meint, dass der Graph nur Knoten mit geradem Grad besitzt,d.h. die Anzahl der Kanten an den einzelnen Knoten ist stets gerade)
Für die Zufallsvariable [mm] $w(\Gamma)$ [/mm] gilt:
[mm]w(\Gamma)=\produkt_{e Kanten von \Gamma}\tanh(aX_e)[/mm]
Die [mm]X_e[/mm] sind identisch und unabhängig verteilt.
Meine Überlegungen dazu:
(1) [mm] $e^{|\Gamma|}=e^{\summe_{\gamma} |\gamma|}=\produkt e^{\gamma}$
[/mm]
(2) [mm] (w(\Gamma))^2=\produkt_{\gamma} (w(\gamma))^2, [/mm] da ich ja im Produkt die Kanten umsortieren kann. Damit folgt:
[mm] $E(w(\Gamma)^2)=\produkt_{\gamma} E(w\gamma)^2$, [/mm] da die [mm] (\tanh(aX_e))^2 [/mm] unabhängig sind und damit auch die entsprechend in den [mm] $w(\gamma)$ [/mm] gebildeten Produkte.
(3) Was passiert aber mit der Summe auf der linken Seite steht?
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 20.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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