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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:48 Sa 18.09.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Seien f, g [mm] \in [/mm] C([0,h] [mm] \times \mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n) [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel_\infty [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Die Funktion f sei global Lipschitz-stetig mit L>0 Lipschitzkonstante. Seien für [mm] x_0 [/mm] die Funktionen y,z Lösungen von y'(t)=f(t,y), [mm] y(0)=x_0 [/mm] und z'(t)=g(t,z), [mm] z(0)=x_0. [/mm] Dann gilt folgende Abschätzung:
[mm] sup_{t \in [0,h]} |e^{-(L+1)t} [/mm] (z(t)-y(t))| [mm] \le \frac{\parallel f-g \parallel_\infty}{1-c}h [/mm] mit [mm] c=\frac{L}{L+1} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,h]. |
Hallo.
Ich versuche obigen Satz zu beweisen und komme noch nicht ganz zum Ziel. Was ich bisher habe:
Es ist [mm] y(t)-z(t)=\int_0^t [/mm] f(s,y(s))-g(s,z(s))ds - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_0 [/mm] = [mm] \int_0^t [/mm] f(s,y(s))-g(s,z(s))ds = [mm] \int_0^t [/mm] s(s,y(s))-f(s,z(s))+f(s,z(s))-g(s,z(s))ds [mm] \le \int_0^t [/mm] f(s,y(s))-f(s,z(s))ds + [mm] \int_0^t [/mm] f(s,z(s))-g(s,z(s))ds [mm] \le \int_0^t [/mm] L(y(s)-z(s)ds + t [mm] \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel.
[/mm]
Dann ist also [mm] d(y,z)=sup_{t \in [0,h]}|e^{-(L+1)t} [/mm] (y-z)| [mm] \le sup_{t \in [0,h]} |e^{-(L+1)t} [/mm] (L [mm] \int_0^t [/mm] (z-y)ds + h [mm] \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel [/mm] | [mm] \le sup_{t \in [0,h]} |e^{-(L+1)t} L\int_0^t [/mm] (z-y)ds| + h [mm] \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel.
[/mm]
Stimmt das soweit?
Kann mir jemand zum Ziel helfen?
lg moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mi 22.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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