Ableitung von artanh'(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie durch Verwendung der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen, dass
[mm] artanh'(x)=arcoth'(x)=\bruch{1}{(1-x^2)} [/mm] |
Nach Einsetzen in die Umkehrregel komme ich auf
[mm] artanh'(x)=cosh^2(artanh(x))
[/mm]
[mm] arcoth'(x)=-sinh^2(arcoth(x))
[/mm]
arsinh'(x) und arcosh'(x) ließen sich über die Relation [mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 [/mm] relativ einfach bestimmen, aber bei diesen beiden Funktionen weiß ich nicht, wie ich fortfahren soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen f(t)= tanh(t).
zeige:
(1) [mm] $f'(t)=1-f(t)^2$
[/mm]
Weiter gilt die bekannte Formel
(2) [mm] $(f^{-1})'(x)= \bruch{1}{f'(t)}$, [/mm] wobei x=f(t)
So nun überzeuge Dich davon, dass Du aus (1) und (2) erhältst:
$ [mm] artanh'(x)=\bruch{1}{1-x^2} [/mm] $
FRED
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