Ableitung Exponentialfkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 So 15.07.2012 | | Autor: | thomas06 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe mal versucht eine Exponentialfunktion mit dem Differenzenquotienten abzuleiten. Ich bin mir nich zu 100% sicher ob das so stimmt, vlt. könnte ja mal einer von euch kurz drüber schauen. Das wäre wirklich sehr freundlich.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
f(x) = [mm] b^{x}
[/mm]
Jetzt einsetzen in den Differenzenquotienten ergibt:
f'(x) = [mm] \lim_{h \to 0} \bruch{b^{x+h}-b^{x}}{h}
[/mm]
f'(x) = [mm] b^{x} \lim_{h \to 0} \bruch{b^{h}-1}{h}
[/mm]
Jetzt sustituiere ich: k = [mm] b^{h}-1 \gdw [/mm] h = log(k+1) und setze ein, woraus folgt:
f´(x) = [mm] b^{x} \lim_{k \to 0} \bruch{k}{log(k+1)}
[/mm]
f´(x) = [mm] b^{x} \lim_{k \to 0} \bruch{1}{log(1+k)^{\bruch{1}{k}}}
[/mm]
Jetzt setze ich die Definition von e ein: e:= [mm] \limes_{k\rightarrow\zero} (1+k)^{\bruch{1}{k}} [/mm] und es folgt:
f´(x) = [mm] b^{x} \lim_{h \to 0} \bruch{1}{log(e)}
[/mm]
Für log(e) setze ich ein: log(e) = [mm] \bruch{ln(e)}{ln(b)} [/mm] (, da mit dem log ja immer der Logarithmus zur Basis b gemeint war.) und es folgt:
f´(x) = [mm] b^{x}*ln(b)
[/mm]
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Hallo,
zunächst: ich kann keinen Fehler entdecken.
> ich habe mal versucht eine Exponentialfunktion mit dem
> Differenzenquotienten abzuleiten. Ich bin mir nich zu 100%
> sicher ob das so stimmt, vlt. könnte ja mal einer von euch
> kurz drüber schauen. Das wäre wirklich sehr freundlich.
> Vielen Dank schonmal im Voraus.
>
> f(x) = [mm]b^{x}[/mm]
> Jetzt einsetzen in den Differenzenquotienten ergibt:
> f'(x) = [mm]\lim_{h \to 0} \bruch{b^{x+h}-b^{x}}{h}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]b^{x} \lim_{h \to 0} \bruch{b^{h}-1}{h}[/mm]
> Jetzt
> sustituiere ich: k = [mm]b^{h}-1 \gdw[/mm] h = log(k+1) und setze
> ein, woraus folgt:
>
> f´(x) = [mm]b^{x} \lim_{k \to 0} \bruch{k}{log(k+1)}[/mm]
>
> f´(x) = [mm]b^{x} \lim_{k \to 0} \bruch{1}{log(1+k)^{\bruch{1}{k}}}[/mm]
Da habe ich kurz gebraucht, um zu verstehen was du machst. Es ist elementar, aber man könnte einen Zwischenschritt einfügen.
> Jetzt setze ich die Definition von e ein: e:=
> [mm]\limes_{k\rightarrow\zero} (1+k)^{\bruch{1}{k}}[/mm] und es
Das solltest du ausführlicher kommentieren. Denn die Definition von e lautet so:
[mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
Dass das äquivalent ist, ist natürlich schon klar, aber auch hier (je nach Sinn und Zwck der Geschichte) durch eine kurze Erklärung verständlicher.
> folgt:
>
> f´(x) = [mm]b^{x} \lim_{h \to 0} \bruch{1}{log(e)}[/mm]
> Für
> log(e) setze ich ein: log(e) = [mm]\bruch{ln(e)}{ln(b)}[/mm] (, da
> mit dem log ja immer der Logarithmus zur Basis b gemeint
> war.) und es folgt:
>
> f´(x) = [mm]b^{x}*ln(b)[/mm]
>
Der Rest ist dann wieder leicht nachvollziehbar. Schöne Version, die kannte ich noch nicht. 
Gruß, Diophant
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