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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Do 03.04.2008 | | Autor: | josi0603 |
| Aufgabe | | Ableitung der Funktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wer kann mir die 1. Ableitung sagen von:
h(x)= [mm] 2^{1/2x}-2
[/mm]
oder ist: [mm] ln(2)-2^{1/2x} [/mm] richtig???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Do 03.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Ableitung der Funktion
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wer kann mir die 1. Ableitung sagen von:
> h(x)= [mm]2^{1/2x}-2[/mm]
>
> oder ist: [mm]ln(2)-2^{1/2x}[/mm] richtig???
Hallo,
zum einfacheren Ableiten formen wir zunächst um:
[mm] 2=e^{\ln2}
[/mm]
Dann gilt also
h(x)= [mm](e^{\ln2})^{1/2x}-2[/mm]
h(x)= [mm]e^{\bruch{\ln2}{2x}}-2[/mm]
Dia Ableitung erfolgt jetzt nach Kettenregel:
[mm] h'(x)=(\bruch{\ln2}{2x})' [/mm] * [mm] (e^{\ln2})^{1/2x}
[/mm]
[mm] h'(x)=(-\bruch{\ln2}{2x^2}) [/mm] * [mm] (e^{\ln2})^{1/2x}
[/mm]
bzw.
[mm] h'(x)=(-\bruch{\ln2}{2x^2}) *2^{1/2x}
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Do 03.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Josi!
Heißt es im Exponenten eigentlich [mm] $\bruch{1}{2x}$ [/mm] oder [mm] $\bruch{1}{2}*x$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Do 03.04.2008 | | Autor: | josi0603 |
es heißt: [mm] \bruch{1}{2}\*x
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Do 03.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Josi!
Damit lautet Deine Funktion also: $f(x) \ = \ [mm] 2^{\bruch{1}{2}*x}-2$ [/mm] .
Das kannst Du analog zu abakus' Antwort umformen zu:
$$f(x) \ = \ [mm] e^{\bruch{\ln(2)}{2}*x}-2$$
[/mm]
Nun mittels  Kettenregel ableiten ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Do 03.04.2008 | | Autor: | josi0603 |
warum muss ich überhaupt umformen? kann ich nicht gleich ableiten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo josi!
Es ist auch möglich, gleich abzuleiten, indem Du die entsprechende Formel anwendest:
[mm] $$\left( \ a^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*a^x$$
[/mm]
Diese Formel ist aber genau auf o.g Weg entstanden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:22 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> warum muss ich überhaupt umformen? kann ich nicht gleich
> ableiten?
>
selbst wenn Du Loddars Formel [mm] $(a^x)\,'=\ln(a)*a^x$ [/mm] benutzt, musst Du dennoch die Kettenregel benutzen:
[mm] $f(x)=2^{\frac{1}{2}*x}-2$ [/mm] läßt sich schreiben als $f(x)=u(v(x))-2$ mit [mm] $u(v)=2^v$ [/mm] und [mm] $v(x)=\frac{1}{2}*x$. [/mm]
Weil die Konstante $2$ (genauer: die Funktion, die konstant den Wert $2$ hat) beim Ableiten verschwindet, folgt, dass
[mm] $f\,'(x)=u\,'(v(x))*v\,'(x)$
[/mm]
Nun ist nach Loddars Regel [mm] $u\,'(v)=\ln(2)*2^v$, [/mm] also was ist [mm] $u\,'(v(x))$? [/mm] (Du musst nur bei [mm] u\,'(v)=\ln(2)*2^v [/mm] dann jedes $v$ durch $v(x)$ bzw. [mm] $\frac{1}{2}*x$ [/mm] ersetzen.)
Was ist denn $v'(x)$?
Und damit:
Was ist dann [mm] $f\,'(x)=u\,'(v(x))*v\,'(x)$?
[/mm]
(Nach dem Einsetzen sollte rechterhand nur noch Terme mit $x$ stehen.)
Gruß,
Marcel
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