Abbildungen von Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 Mi 18.01.2006 | | Autor: | dauwer |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen
$$ f: [mm] \IR^{3} \rightarrow \IR^{2}~mit~f(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}})=\vektor{3x_{1} + 2x_{2}\\x_{1}-5x_{3}}$$ [/mm] und [mm] $$g:\IR^{3} \rightarrow \IR^{2}~mit~g(\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}})=\vektor{3x_{1}*x_{2}\\0}$$ [/mm] linear sind.
Im Fall einer linearen Abbildung stellen Sie die Abbildung in der Form $$x [mm] \mapsto [/mm] a*x~mit~a [mm] \in [/mm] Mat(p [mm] \times [/mm] n, k)$$ für alle x [mm] \in K^{n} [/mm] dar. |
Ich habe oben genannte Aufgabe zu lösen. Bedauerlicherweise finde ich keinen Lösungsweg.
Ich hoffe einer von euch kann mir bei der Lösung dieser Aufgabe helfen.
Grüsse,
Dauwer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:02 Mi 18.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
eine Funktion f heißt linear, falls
1) f(x+y) = f(x)+f(y)
2) a * f(x) = f(a*x)
für alle x,y,x+y aus dem Def.-Bereich von f und a [mm] \in \IR, a\not=0 [/mm] gilt.
Nimm Dir also zwei beliebige Vektoren ( [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] und ( [mm] y_{1}, y_{2}, y_{3}) [/mm] und prüfe diese Bedingungen einfach (allgemein) nach!
Du wirst feststellen, dass sie für f beide erfüllt sind, für g nicht, d.h. f ist linear und g nicht.
Um die Matrix zu finden, die f darstellt, gehst Du (prinzipiell) genauso vor:
Nimm Dir eine (allgemeine) Matrix mit 3 Spalten und zwei Zeilen und nenne die Einträge a,b,c,d,e,f. Diese multiplizierst Du nun mit einem Vektor ( [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3}). [/mm] Du erhältst zwei Gleichungen, aus denen Du die Koeffizienten a,...,f der Matrix direkt ablesen kannst!
In Deinem Beispiel sollte die Matrix wie folgt aussehen:
[mm] \pmat{ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -5 }
[/mm]
Überlege Dir mit der o.a. Methode, wieso sie so aussieht, also nicht einfach abschreiben (hat noch niemandem was genützt)! 
Viel Erfolg und beste Grüße,
Matthias.
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