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Forum "Lineare Abbildungen" - Abbildung prüfen und Basis
Abbildung prüfen und Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildung prüfen und Basis: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Fr 27.07.2012
Autor: JohnLH

Aufgabe
Gegeben: 2 Abbildungen:
P(x) aus P2 wird auf Q(x)=3P'(x) aus P1 abgebildet
P(x) aus P1 wird auf Q(x)=2x aus P1 abgebildet

Ist die erste Abbildung linear? Wenn ja, durch welche Matrix wird die Abbildung beschrieben? Wähle als Basis für P1  (P2) die Standardbasis 1, x, [mm] (x^{2}) [/mm]

Ist die zweiteAbbildung linear? Wenn ja, durch welche Matrix wird die Abbildung beschrieben? Wähle als Basis für P1 die Standardbasis 1, x

1) [mm] F(\lambda1p1(x) [/mm] + [mm] \lambda2p2(x))=3(\lambda1p1'(x)+ \lambda2p2'(x))= [/mm] + [mm] \lambda1F(p1(x))+\lambda2F(p2(x)) [/mm]
Es ist eine lineare Abbildung.
Die Matrix, die diese Abb. darstellt ist folgende:
F[1]=0
F[x]=3
[mm] F[x^{2}]=6 [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 } [/mm]

Die zweite ist keine lineare Abbildung, da F(p1(x)+p2(x)) [mm] \not= [/mm] F(p1(x)) +F(p2(x))


        
Bezug
Abbildung prüfen und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Fr 27.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo JohnLH,


> Gegeben: 2 Abbildungen:
>  P(x) aus P2 wird auf Q(x)=3P'(x) aus P1 abgebildet
>  P(x) aus P1 wird auf Q(x)=2x aus P1 abgebildet
>  
> Ist die erste Abbildung linear? Wenn ja, durch welche
> Matrix wird die Abbildung beschrieben? Wähle als Basis
> für P1  (P2) die Standardbasis 1, x, [mm](x^{2})[/mm]
>  
> Ist die zweiteAbbildung linear? Wenn ja, durch welche
> Matrix wird die Abbildung beschrieben? Wähle als Basis
> für P1 die Standardbasis 1, x
>  1) [mm]F(\lambda1p1(x)[/mm] + [mm]\lambda2p2(x))=3(\lambda1p1'(x)+ \lambda2p2'(x))=[/mm] [mm]\lambda1F(p1(x))+\lambda2F(p2(x))[/mm] [ok]

Indizes kannst du mit dem Unterstrich _ machen, also etwa p_2(x) für [mm]p_2(x)[/mm]

>  Es ist eine lineare Abbildung.

Ja!

>  Die Matrix, die diese Abb. darstellt ist folgende:
>  F[1]=0
>  F[x]=3
>  [mm]F[x^{2}]=6[/mm] [ok]
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]

Nein, das muss doch eine [mm]2\times 3[/mm]-Matrix sein, [mm]P_1[/mm] ist doch 2-dimensional.

>  
> Die zweite ist keine lineare Abbildung, da F(p1(x)+p2(x))
> [mm]\not=[/mm] F(p1(x)) +F(p2(x)) [ok]

Hier könntest du ein konkretes Gegenbsp., also konkrete Polynome [mm]p_1, p_2\in P_1[/mm] angeben, die die Linearität verletzen.


Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Abbildung prüfen und Basis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Fr 27.07.2012
Autor: JohnLH

Vielen Dank für die gute Antwort!
Könnte das die Matrix sein:
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Abbildung prüfen und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:25 Fr 27.07.2012
Autor: meili

Hallo,
> Vielen Dank für die gute Antwort!
>  Könnte das die Matrix sein:
>  [mm]\pmat{ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm] ?

[ok]

Gruß
meili


Bezug
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