3x3 eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mo 31.01.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | bestimmen sie die eigenwerte &eigenvektoren:
[mm] \(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5} [/mm] |
hallo , zunächst zu den eigenwerten.
habe es schon berechnet, mit der formel von Sarrus, anschließend Polynomdivision & PQ
Ergebnis lautet [mm] \lambda1=\lambda2=\lambda3=5
[/mm]
ist schon etwas verdächtig, da die hauptsiagonale auch aus 5en besteht.. gibts da evtl. noch nen kleinen trick, um die rechnung zu verkürzen?
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
Moin,
> bestimmen sie die eigenwerte &eigenvektoren:
>
>
> [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5}[/mm]
> hallo ,
> zunächst zu den eigenwerten.
>
> habe es schon berechnet, mit der formel von Sarrus,
> anschließend Polynomdivision & PQ
Wozu Polynomdivision?
[mm] det(X\cdot E_3-A)=\vmat{ X-5 & 2 & 0 \\ -1 & X-5 & 1 \\ 0 & 2 & X-5}=(X-5)^3+0+0-(X-5)*1*2-2(-1)(X-5)-0=(X-5)^3
[/mm]
Hieran siehst du doch direkt, dass 5 der einzige Eigenwert ist (die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms).
Was meinst du mit PQ?
>
> Ergebnis lautet [mm]\lambda1=\lambda2=\lambda3=5[/mm]
>
> ist schon etwas verdächtig, da die hauptsiagonale auch aus
> 5en besteht.. gibts da evtl. noch nen kleinen trick, um die
> rechnung zu verkürzen?
>
>
> Gruß
Gruß, pyw
P.S.: Edit: Habe bei der Determinantenberechnung den Exponent im Ergebnis zu 3 korrigiert. Danke für den Hinweis, skoopa :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 31.01.2011 | | Autor: | m4rio |
> Moin,
>
> > bestimmen sie die eigenwerte &eigenvektoren:
> >
> >
> > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5}[/mm]
> >
> hallo ,
> > zunächst zu den eigenwerten.
> >
> > habe es schon berechnet, mit der formel von Sarrus,
> > anschließend Polynomdivision & PQ
> Wozu Polynomdivision?
> [mm]det(X\cdot E_3-A)=\vmat{ X-5 & 2 & 0 \\ -1 & X-5 & 1 \\ 0 & 2 & X-5}=(X-5)^3+0+0-(X-5)*1*2-2(-1)(X-5)-0=(X-5)^5[/mm]
>
> Hieran siehst du doch direkt, dass 5 der einzige Eigenwert
> ist (die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms).
> Was meinst du mit PQ?
> >
Meinte die PQ formel zur berechnung der nullstellen...
kann ich die eigenwerte also immer so leicht ablesen, wenn alle Zahlen auf der Hauptsiagonale gleich sind (egal, ob simmetrische matrix oder nciht).
Hätte ich allerdings
eien MAtrix in dieser art > > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 4}[/mm]
müsste ich die Nullstellen einzeln berechnen (saruss, PQ/Mittenachts-formel..)
> > Ergebnis lautet [mm]\lambda1=\lambda2=\lambda3=5[/mm]
> >
> > ist schon etwas verdächtig, da die hauptsiagonale auch aus
> > 5en besteht.. gibts da evtl. noch nen kleinen trick, um die
> > rechnung zu verkürzen?
> >
> >
> > Gruß
>
> Gruß, pyw
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Moin,
> >
> > > bestimmen sie die eigenwerte &eigenvektoren:
> > >
> > >
> > > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5}[/mm]
> >
> >
> > hallo ,
> > > zunächst zu den eigenwerten.
> > >
> > > habe es schon berechnet, mit der formel von Sarrus,
> > > anschließend Polynomdivision & PQ
> > Wozu Polynomdivision?
> > [mm]det(X\cdot E_3-A)=\vmat{ X-5 & 2 & 0 \\ -1 & X-5 & 1 \\ 0 & 2 & X-5}=(X-5)^3+0+0-(X-5)*1*2-2(-1)(X-5)-0=(X-5)^5[/mm]
>
> >
> > Hieran siehst du doch direkt, dass 5 der einzige Eigenwert
> > ist (die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des
> > charakteristischen Polynoms).
> > Was meinst du mit PQ?
> > >
>
> Meinte die PQ formel zur berechnung der nullstellen...
>
> kann ich die eigenwerte also immer so leicht ablesen, wenn
> alle Zahlen auf der Hauptsiagonale gleich sind (egal, ob
> simmetrische matrix oder nciht).
Nein. Versuch Dich mal an
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
FRED
>
> Hätte ich allerdings
>
> eien MAtrix in dieser art > > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 4}[/mm]
>
> müsste ich die Nullstellen einzeln berechnen (saruss,
> PQ/Mittenachts-formel..)
>
>
>
>
>
> > > Ergebnis lautet [mm]\lambda1=\lambda2=\lambda3=5[/mm]
> > >
> > > ist schon etwas verdächtig, da die hauptsiagonale auch aus
> > > 5en besteht.. gibts da evtl. noch nen kleinen trick, um die
> > > rechnung zu verkürzen?
> > >
> > >
> > > Gruß
> >
> > Gruß, pyw
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 31.01.2011 | | Autor: | m4rio |
> > > Moin,
> > >
> > > > bestimmen sie die eigenwerte &eigenvektoren:
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > hallo ,
> > > > zunächst zu den eigenwerten.
> > > >
> > > > habe es schon berechnet, mit der formel von Sarrus,
> > > > anschließend Polynomdivision & PQ
> > > Wozu Polynomdivision?
> > > [mm]det(X\cdot E_3-A)=\vmat{ X-5 & 2 & 0 \\ -1 & X-5 & 1 \\ 0 & 2 & X-5}=(X-5)^3+0+0-(X-5)*1*2-2(-1)(X-5)-0=(X-5)^5[/mm]
ja stimmt, ist mir auch aufgefallen, dass beim rechnen alles außer dieser Therm weggefallen ist. In einer solchen situation könnte ich also die rechnung beenden und gleich das Ergebnis angeben?
> >
> > >
> > > Hieran siehst du doch direkt, dass 5 der einzige Eigenwert
> > > ist (die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des
> > > charakteristischen Polynoms).
> > > Was meinst du mit PQ?
> > > >
> >
> > Meinte die PQ formel zur berechnung der nullstellen...
> >
> > kann ich die eigenwerte also immer so leicht ablesen, wenn
> > alle Zahlen auf der Hauptsiagonale gleich sind (egal, ob
> > simmetrische matrix oder nciht).
>
>
> Nein. Versuch Dich mal an
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
>
ja, eigenwerte sind [mm] \lambda1=1 \lamdba2=2 \lambda3=3 [/mm] ... hmm
im skript steht, eine symmetrische matrix hat immer reelle Eigenwerte.. sind damit die reellen zahlen gemeint oder ietwas bbesonderes?
> FRED
>
>
> >
> > Hätte ich allerdings
> >
> > eien MAtrix in dieser art > > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 4}[/mm]
>
> >
> > müsste ich die Nullstellen einzeln berechnen (saruss,
> > PQ/Mittenachts-formel..)
> >
> >
> >
> >
> >
> > > > Ergebnis lautet [mm]\lambda1=\lambda2=\lambda3=5[/mm]
> > > >
> > > > ist schon etwas verdächtig, da die hauptsiagonale auch aus
> > > > 5en besteht.. gibts da evtl. noch nen kleinen trick, um die
> > > > rechnung zu verkürzen?
> > > >
> > > >
> > > > Gruß
> > >
> > > Gruß, pyw
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Moin,
> > > >
> > > > > bestimmen sie die eigenwerte &eigenvektoren:
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > >
> > > > hallo ,
> > > > > zunächst zu den eigenwerten.
> > > > >
> > > > > habe es schon berechnet, mit der formel von Sarrus,
> > > > > anschließend Polynomdivision & PQ
> > > > Wozu Polynomdivision?
> > > > [mm]det(X\cdot E_3-A)=\vmat{ X-5 & 2 & 0 \\ -1 & X-5 & 1 \\ 0 & 2 & X-5}=(X-5)^3+0+0-(X-5)*1*2-2(-1)(X-5)-0=(X-5)^5[/mm]
>
>
> ja stimmt, ist mir auch aufgefallen, dass beim rechnen
> alles außer dieser Therm weggefallen ist. In einer solchen
> situation könnte ich also die rechnung beenden und gleich
> das Ergebnis angeben?
>
>
>
>
>
>
>
> > >
> > > >
> > > > Hieran siehst du doch direkt, dass 5 der einzige Eigenwert
> > > > ist (die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des
> > > > charakteristischen Polynoms).
> > > > Was meinst du mit PQ?
> > > > >
> > >
> > > Meinte die PQ formel zur berechnung der nullstellen...
> > >
> > > kann ich die eigenwerte also immer so leicht ablesen, wenn
> > > alle Zahlen auf der Hauptsiagonale gleich sind (egal, ob
> > > simmetrische matrix oder nciht).
> >
> >
> > Nein. Versuch Dich mal an
> >
> > [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
> >
> >
>
>
>
> ja, eigenwerte sind [mm]\lambda1=1 \lamdba2=2 \lambda3=3[/mm] ...
> hmm
>
> im skript steht, eine symmetrische matrix hat immer reelle
> Eigenwerte.. sind damit die reellen zahlen gemeint oder
> ietwas bbesonderes?
Das bedeutet: ist A eine symmetrische Matrix und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
FRED
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > Hätte ich allerdings
> > >
> > > eien MAtrix in dieser art > > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 4}[/mm]
>
> >
> > >
> > > müsste ich die Nullstellen einzeln berechnen (saruss,
> > > PQ/Mittenachts-formel..)
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > > Ergebnis lautet [mm]\lambda1=\lambda2=\lambda3=5[/mm]
> > > > >
> > > > > ist schon etwas verdächtig, da die hauptsiagonale auch aus
> > > > > 5en besteht.. gibts da evtl. noch nen kleinen trick, um die
> > > > > rechnung zu verkürzen?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruß
> > > >
> > > > Gruß, pyw
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:40 Mo 31.01.2011 | | Autor: | skoopa |
> Moin,
>
> > bestimmen sie die eigenwerte &eigenvektoren:
> >
> >
> > [mm]\(A=\pmat{ 5 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 5}[/mm]
> >
> hallo ,
> > zunächst zu den eigenwerten.
> >
> > habe es schon berechnet, mit der formel von Sarrus,
> > anschließend Polynomdivision & PQ
> Wozu Polynomdivision?
> [mm]det(X\cdot E_3-A)=\vmat{ X-5 & 2 & 0 \\ -1 & X-5 & 1 \\ 0 & 2 & X-5}=(X-5)^3+0+0-(X-5)*1*2-2(-1)(X-5)-0=(X-5)^5[/mm]
Der letzte Term müsste aber [mm] (X-5)^3 [/mm] lauten 
>
> Hieran siehst du doch direkt, dass 5 der einzige Eigenwert
> ist (die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms).
> Was meinst du mit PQ?
> >
> > Ergebnis lautet [mm]\lambda1=\lambda2=\lambda3=5[/mm]
> >
> > ist schon etwas verdächtig, da die hauptsiagonale auch aus
> > 5en besteht.. gibts da evtl. noch nen kleinen trick, um die
> > rechnung zu verkürzen?
> >
> >
> > Gruß
>
> Gruß, pyw
|
|
|
|
