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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Do 16.10.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie die Bogelnlänge des Kurvenstücks der Funktion f(x)= (x²+2)² für x [mm] \in [/mm] [0,1] |
Hi, ich habe ein wenig Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Zwar weiß ich, daß laut Mathebuch:
[mm] \integral_{K}{f ds}=\integral_{K}f{(\vec{x}(t)) *| \vec{x}'(t) |dt} [/mm] gilt.
Für die Länge der Kurve lautet die Formel dann: [mm] \integral_{K}1 [/mm] ds
Aber bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht so sicher, ob ich das so anwenden kann.
Soweit habe ich folgendes.
f'(x)= 4x (x²+1) =4x³+4x
|f'(x)|= 4x³+4x
Länger der Kurve [mm] =\integral_{0}^{1}{ (4x³+4x) dx}=3
[/mm]
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Do 16.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ermitteln Sie die Bogelnlänge des Kurvenstücks der Funktion
> f(x)= (x²+2)² für x [mm]\in[/mm] [0,1]
> Hi, ich habe ein wenig Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
> Zwar weiß ich, daß laut Mathebuch:
> [mm]\integral_{K}{f ds}=\integral_{K}f{(\vec{x}(t)) *| \vec{x}'(t) |dt}[/mm]
> gilt.
> Für die Länge der Kurve lautet die Formel dann:
> [mm]\integral_{K}1[/mm] ds
> Aber bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht so sicher, ob
> ich das so anwenden kann.
>
> Soweit habe ich folgendes.
>
> f'(x)= 4x (x²+1) =4x³+4x
Du hast oben [mm] $f(x)=(x^2+2)^2$ [/mm] angegeben, dann kann das nicht stimmen.
> |f'(x)|= 4x³+4x
>
> Länger der Kurve [mm]=\integral_{0}^{1}{ (4x³+4x) dx}=3[/mm]
>
> Ist das richtig?
Nein, du hast [mm] $\vec{x}(t)$ [/mm] bzw. [mm] $\vec{x}'(t)$ [/mm] falsch verstanden. Es handelt sich hier doch um einen Vektor, der die Koordinaten der einzelnen Punkte auf der Kurve bezeichnet. Die y-Koordinate zur x-Koordinate x=t ist ja f(t), also ist dieser Vektor:
[mm] \vec{x}(t) = \vektor{t \\ f(t) } \implies \vec{x}'(t) = \vektor{1\\f'(t)}[/mm]
Die Länge ist daher $| [mm] \vec{x}'(t) [/mm] | = [mm] \wurzel{1+f'(t)^2} [/mm] $, und du musst das Integral
[mm] \integral_{0}^1 \sqrt{1+f'(t)^2} dt [/mm]
berechnen.
Viele Grüße
Rainer
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