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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Sa 13.01.2007 | | Autor: | apple81 |
| Aufgabe | sei [mm] x_{n}=\wurzel[2^{n}]{2}\in\IR,n=1,2,3.....
[/mm]
[mm] E=\bigcup_{i=1}^{\infty}\IQ(x_{n})
[/mm]
zu zeigen.E ist ein Körper,der über [mm] \IQ [/mm] sogar algebraisch |
ich dachte,E ist nicht Körper.kann jemand mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 So 14.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> sei [mm]x_{n}=\wurzel[2^{n}]{2}\in\IR,n=1,2,3.....[/mm]
> [mm]E=\bigcup_{i=1}^{\infty}\IQ(x_{n})[/mm]
> zu zeigen.E ist ein Körper,der über [mm]\IQ[/mm] sogar algebraisch
> ich dachte,E ist nicht Körper.kann jemand mir helfen?
Ueberleg dir erstmal, dass [mm] $\IQ(x_n) \subseteq \IQ(x_{n+1})$ [/mm] gilt.
Daraus folgt:
- Sind $a, b [mm] \in [/mm] E$, so gibt es ein $n$ mit $a, b [mm] \in \IQ(x_n)$. [/mm] Wenn du also $a [mm] \pm [/mm] b [mm] \in [/mm] E$ und $a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] E$, [mm] $a^{-1} \in [/mm] E$ (falls $a [mm] \neq [/mm] 0$) zeigen willst, reicht es zu zeigen, dass das alles [mm] in$\IQ(x_n)$ [/mm] liegt.
Weiterhin:
- Ist $x [mm] \in [/mm] E$ beliebig, so gibt es ein $n$ mit $x [mm] \in \IQ(x_n)$. [/mm] Warum folgt daraus, dass $x$ algebraisch ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 So 14.01.2007 | | Autor: | apple81 |
Ueberleg dir erstmal, dass $ [mm] \IQ(x_n) \subseteq \IQ(x_{n+1}) [/mm] $ gilt.
wieso [mm] \IQ(x_n) \subseteq \IQ(x_{n+1})?
[/mm]
z.b.
[mm] \IQ(x_1)=\{a+b\wurzel{2},a,b aus \IQ\}
[/mm]
[mm] \IQ(x_2)=\{a+b\wurzel{\wurzel{2}},a,b aus \IQ\}
[/mm]
[mm] \IQ(x_1) \subseteq \IQ(x_{2})?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 14.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Ueberleg dir erstmal, dass [mm]\IQ(x_n) \subseteq \IQ(x_{n+1})[/mm]
> > gilt.
> wieso [mm]\IQ(x_n) \subseteq \IQ(x_{n+1})?[/mm]
> z.b.
> [mm]\IQ(x_1)=\{a+b\wurzel{2},a,b aus \IQ\}[/mm]
Das stimmt.
>
> [mm]\IQ(x_2)=\{a+b\wurzel{\wurzel{2}},a,b aus \IQ\}[/mm]
Das stimmt nicht.
Wie ist [mm] $\IQ(x)$ [/mm] definiert fuer ein $x [mm] \in \IC$?
[/mm]
LG Felix
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